专题二十一 圆（切线、圆与多边形、扇形面积、弧长）2026年中考数学一轮复习讲义(原卷版+答案版)

专题二十一 圆（切线、圆与多边形、扇形面积、弧长） 【题型一】切线的性质 【例1】（2025 福建）如图，PA与⊙O相切于点A，PO的延长线交⊙O于点C．AB∥PC，且交⊙O于点B．若∠P＝30°，则∠BCP的大小为（　　） A．30° B．45° C．60° D．75° 【分析】连接OA、OB，根据切线的性质得到OA⊥PA，根据直角三角形的性质求出∠AOP，再根据等边三角形的判定和性质解答即可． 【解答】解：如图，连接OA、OB， ∵PA与⊙O相切于点A， ∴OA⊥PA， ∴∠AOP＝90°﹣∠P＝90°﹣30°＝60°， ∵AB∥PC， ∴∠OAB＝∠AOP＝60°， ∵OA＝OB， ∴△AOB为等边三角形， ∴∠AOB＝60°， ∴∠BOC＝180°﹣∠AOP﹣∠AOB＝60°， ∵OB＝OC， ∴△BOC为等边三角形， ∴∠BCP＝60°， 故选：C． 【变式1】（2025 自贡）PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，点C在⊙O上，不与点A，B重合．若∠P＝80°，则∠ACB的度数为（　　） A．50° B．100° C．130° D．50°或130° 【分析】连接OA、OB，根据切线的性质得到∠OAP＝∠OBP＝90°，根据四边形内角和等于360°求出∠AOB，分点C在优弧AB上、点C在劣弧AB上两种情况，根据圆周角定理解答即可． 【解答】解：连接OA、OB， ∵PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点， ∴OA⊥PA，OB⊥PB， ∴∠OAP＝∠OBP＝90°， ∴∠AOB＝180°﹣∠P＝180°﹣80°＝100°， 当点C在优弧AB上时，∠ACB＝∠AOB＝×100°＝50°， 当点C′在劣弧AB上时，∠AC′B＝180°﹣50°＝130°， 综上所述：∠ACB的度数是50°或130°， 故选：D． 【变式2】（2025 淄博）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为斜边AB上一点，以DB为直径的圆与AC相切于点E．若AD＝5，AE＝10，则BC的长是（　　） A．10 B．12 C．13 D．15 【分析】设圆心为O，连接OE，设⊙O的半径为r，得AO＝5+r，AB＝5+2r，然后利用勾股定理求出r，根据sin∠A，代入值即可求出BC． 【解答】解：如图，设圆心为O，连接OE， ∵AC是⊙O的切线， ∴OE⊥AC， 设⊙O的半径为r， ∴OE＝OD＝r， ∴AO＝AD+OD＝5+r，AB＝AD+BD＝5+2r， 在Rt△AEO中，根据勾股定理得：AO2＝AE2+OE2， ∴（5+r）2＝102+r2， ∴r＝7.5， ∴AO＝5+r＝12.5，AB＝5+2r＝20， ∵sin∠A， ∴， ∴BC＝12． 故选：B． 【变式3】（2025 海南）如图，在△ABC中，∠C＝30°，AB＝1，以AB为直径的半圆O交AC于点D，若BC与半圆O相切于点B，则的长为（　　） A． B． C． D． 【分析】连接OD，根据切线的性质得到∠ABC＝90°，根据直角三角形的性质求出∠A，根据圆周角定理求出∠BOD，再根据弧长公式计算，得到答案． 【解答】解：如图，连接OD， ∵BC与半圆O相切于点B， ∴∠ABC＝90°， ∵∠C＝30°， ∴∠A＝90°﹣30°＝60°， 由圆周角定理得：∠BOD＝2∠A＝120°， ∴的长为：， 故选：C． 【题型二】切线的判定 【例1】（2025 东营）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，，DF⊥BC于点F，延长FD交BA的延长线于点E，连接BD． （1）求证：DF是⊙O的切线； （2）若⊙O的半径为1，求图中阴影部分的面积． 【分析】（1）连接OD，根据圆周角定理、等腰三角形的性质得到∠ODB＝∠FBD，得到OD∥DF，证明DF⊥OD，根据切线的判定证明； （2）根据三角形面积公式、扇形面积公式计算，得到答案． 【解答】（1）证明：如图，连接OD， ∵， ∴∠ABD＝∠FBD， ∵OB＝OD， ∴∠ABD＝∠ODB， ∴∠ODB＝∠FBD， ∴OD∥DF， ∵DF⊥BC， ∴DF⊥OD， ∵OD是⊙O的半径， ∴DF是⊙O的切线； （2）解：∵， ∴∠DOE＝180°60°， ∴DE＝OD tan∠DOE， ∴S阴影部分＝S△EOD﹣S扇形AOD1． 【变式1】（2025 南充）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，以CD为直径的⊙O交BC于点E，交AC于点F，M为线段DB上一点，ME＝MD． （1）求证：ME是⊙ ... ...