7.3 定义、命题、定理 知识点 相关题型 定义与命题 判断命题的真假 分析命题的题设和结论 定理与证明 给证明过程补充依据 进行简单的推理证明 通过举反例说明一个命题是假命题 定义与命题 （1）定义：我们在学习一些新的数学对象时，对它们进行了清晰、明确的描述，这样的描述称为数学对象的定义(definition). （2）命题：可以判断正确与错误的陈述语句叫作命题.正确的命题叫作真命题，错误的命题叫作假命题.如：对顶角相等；两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行；如果a =b ,那么a=b. 易错点：假命题也是命题，譬如“如果a =b ,那么a=b”虽然错误，但它仍是命题. （3）题设和结论 数学命题通常由条件、结论两部分组成.命题常可以写成“如果……,那么……”的形式.其中，用“如果”开始的部分是条件，用“那么”开始的部分是结论. 易错点: 有一些命题是简缩句，省略掉的词句要先补充完整再作条件和结论的分析.例如“对顶角相等”完整的表达是“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”，所以题设是：两个角是对顶角，结论是：这两个角相等. 2.定理与证明 （1）定理：有一些命题，如“对顶角相等”“内错角相等，两直线平行”，它们的正确性是经过推理证实的，这样的真命题叫作定理（theorem）.定理也可以作为继续推理的依据 （2）证明：一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理过程叫作证明.证明是在“已知”和“求证”之间建立逻辑联系的完整推理过程. 【题型1】判断命题的真假 【例1】（25-26八年级上·全国·期末）下列命题中，是真命题的是（ ） A．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 B．过直线外一点有无数条直线与已知直线平行 C．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 D．直线外一点到这条直线的垂线段叫作这点到直线的距离 【变式1】（25-26八年级上·安徽合肥·期中）下列命题是假命题的是（ ） A．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 B．如果两个角互为邻补角，那么它们的角平分线互相垂直 C．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 D．垂直于同一条直线的两条直线互相平行 【变式2】（（24-25七年级下·云南临沧·期末）下列命题中，是假命题的是（ ） A．直线外一点到这条直线的线段的长度，叫作点到直线的距离 B．两直线平行，同旁内角互补 C．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 D．若两条直线都与第三条直线平行，则这两条直线也互相平行 【题型2】写出命题的题设和结论 【例2】（24-25七年级下·吉林白山·期末）把命题“对顶角相等”改写成“如果……，那么……”的形式 ． 【变式1】（25-26八年级上·四川眉山·月考）把命题“等角的余角相等”改写成“如果…那么…”的形式： ． 【变式2】（23-24八年级上·江苏南京·开学考试）命题“垂直于同一条直线的两条直线平行”写成“如果…，那么…”的形式为：如果 ，那么 ． 【题型3】补充证明依据 【例3】（24-25七年级下·内蒙古乌兰察布·期末）如图，，，求证： 证明：∵（已知） ∴_____（ ） ∴ (内错角相等，两直线平行) ∴_____=_____（ ） 又（已知） ∴_____（ ） ∴（ ） ∴ （ ） 【变式1】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，点在同一条直线上，．如果，那么．请将下面的说理过程补充完整． （已知）， ( )， ( )． （已知）， ( )． 故答案为：，两直线平行同位角相等，，两直线平行内错角相等，等量代换． 【变式2】（25-26八年级上·全国·期末）在下面解题过程的空白处填上适当的内容． 如图，已知，分别平分和求证： 证明：（已知）， （已知）， （角平分线的定义）， 同理， ． （等量代换）， （ ）． 【题型4】进行简单的推理证明 【例4】 ... ...
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