专题5 二次函数中的线段比和面积比转化问题（2个知识点3种题型） 一、方法梳理 1.线段比的转化 知的比值作垂直构造相似转化成竖直方向的线段的比. 2.面积比的转化 知的比值先用面积转化为,再作垂直构造相似转化成竖直方向的线段的比. 二、题型突破 题型一、二次函数中线段比的转化 例1.已知：抛物线经过，，，三点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点P为直线上方抛物线上任意一点，连，交直线于点E，设，求当k取最大值时点P的坐标，并求此时k的值； (3)如图2，是x的正半轴上一点，过点D作y轴的平行线，与直线交于点M，与抛物线交于点N，连结，将沿翻折，M的对应点为．在图2中探究：是否存在点D，使得四边形是菱形？若存在，请求出D的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式1】如图，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，且点，点，抛物线的对称轴为直线，连接AC，BC． (1)求抛物线的解析式； (2)将沿直线BC折叠，得到，请问：点A的对应点D是否落在抛物线的对称轴上？若点D落在对称轴上，请求出点D的坐标；若点D没有落在对称轴上，请说明理由； (3)若点E是抛物线位于第一象限内的一个动点，连接AE交直线BC于点F，设，求n的最大值并求出此时点E的坐标． 题型二、二次函数中面积比的转化 例2.如图1，已知抛物线经过点和点，与轴交于点，点为第一象限内抛物线上的动点．连接交于点，连接． （1）试确定抛物线的解析式； （2）当时，请求出点的坐标； （3）如图2，连接，设点横坐标为，求当为何值时，四边形的面积最大？并求出点的坐标． 【变式2-1】已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A(4，0)、B(﹣1，0)、C(0，4)三点． （1）求抛物线的函数解析式； （2）如图1，点D是直线AC上方的抛物线的一点，DN⊥AC于点D，DMy轴交AC于点M，求DMN周长的最大值及此时点D的坐标； （3）如图2，点P为抛物线第一象限上的点，连接OP与直线AC相交于点Q，若＝3：5，求点P的坐标． 【变式2-2】如图①，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴交于点C，连接BC，点P是抛物线上一动点． (1)求二次函数的表达式． (2)当点P不与点A、B重合时，作直线AP，交直线BC于点Q，若△ABQ的面积是△BPQ面积的4倍，求点P的横坐标． (3)如图②，当点P在第一象限时，连接AP，交线段BC于点M，以AM为斜边向△ABM外作等腰直角三角形AMN，连接BN，△ABN的面积是否变化？如果不变，请求出△ABN的面积；如果变化，请说明理由． 题型三、二次函数中求面积比最值 例3.如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，已知，两点坐标分别是，，连接，． （1）求抛物线的表达式和所在直线的表达式； （2）将沿所在直线折叠，得到，点的对应点是否落在抛物线的对称轴上？若点在对称轴上，请求出点的坐标；若点不在对称轴上，请说明理由； （3）若点是抛物线位于第三象限图象上的一动点，连接交于点，连接，的面积记为，的面积记为，求的值最大时点的坐标． 【变式3-1】在平面直角坐标系中，已知抛物线：交轴于，两点，与轴交于点． （1）求抛物线的函数解析式； （2）如图1，点为第四象限抛物线上一点，连接，过点作，垂足为，若，求点的坐标； （3）如图2，点为第四象限抛物线上一动点，连接，交于点，连接，记的面积为，的面积为，求的最大值． 【变式3-2】如图，抛物线与轴交于，，与轴交于点C． （1）求点的坐标和抛物线的解析式； （2）点是第一象限抛物线上的一个动点，连接，交直线于点． ①若，试求四边形的面积； ②设的面积为，的面积为，求的最大值．专题5 二次函数中的线段比和面积比转化问题（2个知识点3种题型） 一、方法梳理 1.线段比的转化 知的比值作垂直构造相似转化成竖直方向的线段的比. 2.面积比的转化 知的比值先用面积转化为,再作垂 ... ...
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