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课件网) 专题突破 方法解读 ★1.费马点到三角形三个顶点距离之和最小. ★2.费马点连接三个顶点所成的三夹角皆为120°. 秘诀：以△ABC任意一边为边向外作等边三角形，这条边所对两顶点的距离即为最小值. ★3.普通费马点最值问题 运用旋转法，将三角形任意一条边向外旋转60°，构造等边三角形，根据两点之间线段最短，得出费马点位置. 例题精讲 例1 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°， ∠BAC＝30°，AB＝2.若点P是△ABC内一 点，则PA＋PB＋PC的最小值为_____. 解：如答图，将△BPC绕点B顺时针旋转60°得△BP'C'，连接CC'，PP'，AC'， 则△BPP'，△BCC'是等边三角形， ∴PP'＝BP，P'C'＝PC， ∴PA＋PB＋PC＝PA＋PP'＋P'C'， ∴当A，P，P'，C'共线时，PA＋PB＋ PC取最小值，即为AC'的长，过点C'作 C'H⊥AD于点H，交BC于点G， 举一反三 1.如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，P是△ABC内一点，求PA＋PB＋PC的最小值. 解：如答图所示，以点C为旋转中心， 将△CBP顺时针旋转60°得到△CNM， 连接PM，BN，AN. 由旋转可得，△CBP≌△CNM， ∴MN＝BP，PC＝CM，∠PCM＝60° ＝∠BCN，BC＝CN， ∴△PCM，△CBN都是等边三角形， ∴PC＝PM，NC＝NB， 例题精讲 例3 阅读下面材料，并解决问题： (1)思维指引 如图1，等边三角形ABC内有一点P，若点P到 顶点A，B，C的距离分别为8，15，17，求 ∠APB的度数.为了解决本题，我们可以将 △ABP绕顶点A旋转到△ACP'处，此时 △ACP'≌△ABP，连接PP'，这样就可以利用 旋转变换，将三条线段PA，PB，PC转化到一个三角形中，从 而求出∠APB＝_____°； 150 (2)知识迁移 如图2，△ABC中，∠CAB＝90°，AB ＝AC，E，F为BC上的点且∠EAF＝ 45°，BE＝3，CF＝2，求EF的长度； 解：如答图，把△ABE绕点A逆时针旋 转90°得到△ACE'， 由旋转得，AE'＝AE，CE'＝BE＝3， ∠CAE'＝∠BAE，∠ACE'＝∠B， ∠EAE'＝∠BAC＝90°， 举一反三 2.【问题提出】 (1)如图1，四边形ABCD是正方形，△ABE 是等边三角形，M为对角线BD(不含B点) 上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60° 得到BN，连接EN，AM，CM.若连接MN， 则△BMN的形状是_____； 等边三角形 【问题解决】 (3)如图3，某高新技术开发区有一个平行四边形的公园ABCD，AB＋BC＝6千米，∠ABC＝60°，公园内有一个儿童游乐场E，分别从A，B，C向游乐场E修一条路AE，BE，CE，求三条路的长度和(即AE＋BE＋CE)最小时，平行四边形公园ABCD的面积. 解：如答图， 将△ABE绕点B逆时针旋转60°得到 △A'BE'，连接EF'，A'C ∴∠A'E'B＝∠AEB，AB＝A'B， A'E'＝AE，BE'＝BE，∠EBE'＝ ∠ABA'＝60°， ∴△EBE'为等边三角形，∴∠BE'E＝∠BEE'＝60°，EE'＝BE， ∴AE＋BE＋CE＝A'E'＋EE'＋CE， ... ...
