微专题9　专项2　空间向量与空间距离（课件 学案 练习）2026届高中数学二轮专题复习

专项2　空间向量与空间距离 微点一　点到直线的距离 例1　如图，已知正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为1，则线段AD1上的动点P到直线A1C1距离的最小值为 (　　) A.1 B． C． D． [听课记录]_____ _____ _____ 点到直线的距离的求法 直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的任一点，P为直线l外一点，设＝a，则点P到直线l的距离d＝. 训练1　四面体OABC满足∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝90°，OA＝1，OB＝2，OC＝3，点D在棱OC上，且OC＝3OD，点G为△ABC的重心，则点G到直线AD的距离为 (　　) A． B． C． D． 微点二　点到平面的距离 例2　如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2BC＝2，∠ABC＝60°，E为CD的中点，沿AE将△DAE翻折至△PAE的位置得到四棱锥P ABCE，且PB＝2.若F为棱PB的中点，则点F到平面PCE的距离为 (　　) A． B． C． D． [听课记录]_____ _____ _____ 求点到平面的距离的常用方法 (1)建系→结合图形的特点，建立恰当的空间直角坐标系． (2)求向量→求平面外一点B到平面内任一点A对应的向量. (3)求法向量→设出平面的法向量n，利用向量垂直的条件转化为求解方程组，求出法向量n. (4)得距离→代入公式d＝，计算结果． 训练2　(2024·天津高考)如图，已知直四棱柱ABCD A1B1C1D1中，AD⊥AB，AB∥CD，AA1＝2，AB＝2AD＝2，DC＝1，N是B1C1的中点，M是DD1的中点． (1)求证D1N∥平面CB1M； (2)求平面CB1M与平面BB1C1C夹角的余弦值； (3)求点B到平面CB1M的距离． 专项2　空间向量与空间距离 例1　D　解析　如图，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则A1(1，0，1)，C1(0，1，1)，设P(x，0，1－x)，0≤x≤1，则＝(x－1，0，－x)，＝(－1，1，0)，所以动点P到直线A1C1的距离d＝＝＝＝≥，当且仅当x＝时取等号，即线段AD1上的动点P到直线A1C1距离的最小值为.故选D. 训练1　A　解析　 四面体OABC满足∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝90°，即OA，OB，OC两两垂直，以O为原点，以，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图，因为OA＝1，OB＝2，OC＝3，OC＝3OD，则A(1，0，0)，D(0，0，1)，B(0，2，0)，C(0，0，3)，G，于是＝，＝(－1，0，1)，||＝＝，||＝＝，·＝－×(－1)＋1＝，所以点G到直线AD的距离d＝＝＝.故选A. 例2　B　解析　如图，在四边形ABCD中，连接BE，由题意可知△DAE是边长为1的等边三角形，则∠AED＝，∠BCE＝，BC＝CE＝1，则∠CEB＝，可知∠AEB＝，即AE⊥EB，且BE＝＝，由PB＝2，PE＝1，BE＝，则PE2＋BE2＝PB2，可知PE⊥EB.由AE∩PE＝E，AE，PE 平面PAE，可得EB⊥平面PAE，取AE中点O，AB中点H，连PO，OH，则PO＝，OH∥BE，可得OH⊥平面PAE，因为△PAE为等边三角形，则PO⊥AE，以O为原点，OA，OH，OP分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则P(0，0，)，E，F，C，可得＝，＝，＝(－，，－).设平面PCE的法向量n＝(x，y，z)，则令x＝，则y＝1，z＝－1，可得n＝(，1，－1)，点F到平面PCE的距离d＝＝＝.故选B. 训练2　解　 (1)证明：以A为原点，以AB，AD，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，依题意得，B(2，0，0)，C(1，1，0)，D(0，1，0)，B1(2，0，2)，C1(1，1，2)，D1(0，1，2)，则M(0，1，1)，N(，，2)，所以＝，＝(1，－1，2)，＝(－1，0，1).设平面CB1M的法向量为n＝(x1，y1，z1)，则即取x1＝1，得z1＝1，y1＝3，则n＝(1，3，1).·n＝·(1，3，1)＝－＝0，所以⊥n，显然D1N 平面CB1M，所以D1N∥平面CB1M. (2)易知＝(1，－1，2)，＝(－1，1，0)，设平面BB1C1C的法向量为m＝(x2，y2，z2)，则即取x2＝1，得y2＝1，z2＝0，则m＝(1，1，0).设平面CB1M与平面BB1C1C的夹角为θ，则cos θ＝|cos 〈n，m〉|＝＝＝，所以平面CB1M与平面BB1C1C夹角的余弦值为 ... ...