微专题11 概率及性质、条件概率 1.古典概型的概率公式 P(A)＝. 2．相互独立事件的性质 (1)若事件A与B相互独立，则P(B|A)＝P(B)，P(A|B)＝P(A). (2)若事件A与B相互独立，则事件A与，与B，与也相互独立． (3)若事件A，B相互独立，则P(AB)＝P(A)P(B)，但是当事件A，B，C两两独立时，P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)一般是不成立的． 3．条件概率公式：P(B|A)＝＝. 4.条件概率的性质 设P(A)>0，Ω为样本空间，则： (1)P(Ω|A)＝1； (2)若B与C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)； (3)设和B互为对立事件，则P(|A)＝1－P(B|A). 5．全概率公式：设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B Ω，有P(B)＝(Ai)P(B|Ai). 微点一 古典概型 例1 (1)(2024·全国甲卷)甲、乙、丙、丁四人排成一列，则丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是 ( ) A． B． C． D． (2)(2025·福建宁德模拟)某学校为参加辩论比赛，选出8名学生，其中3名男生和5名女生，为了更好备赛和作进一步选拔，现将这8名学生随机地平均分成两队进行试赛，那么两队中均有男生的概率是 ( ) A． B． C． D． [听课记录]_____ _____ (1)解决古典概型问题的关键是求样本点的个数，其常用方法有：枚举法、列表法、树状图法，利用排列组合知识计算． (2)对于较复杂的事件所包含的样本点数的计算，要利用分类讨论思想、正难则反的思想方法求解．训练1 (1)(2025·上饶一模)将编号为1，2，3，4的4个小球随机放入编号为1，2，3，4的4个凹槽中，每个凹槽放一个小球，则至少有1个凹槽与其放入的小球编号相同的概率是 ( ) A． B． C． D． (2)(2025·德阳第三次诊断)根据洛书记载：“以五居中，五方皆为阳数，四隅皆为阴数”意为九宫格中5位于居中位置，如图，四个顶角填偶数，其余位置填奇数(用完1到9九个数字).按洛书的填写方法，记事件A＝“满足图案中每行、每列及对角线上的三个数字和都相等，且a＋b≥9”，则P(A)＝_____． a b 5 微点二 相互独立事件 例2 (1)(多选题)先后两次掷一枚质地均匀的骰子，事件A＝“两次掷出的点数之和是6”，事件B＝“第一次掷出的点数是奇数”，事件C＝“两次掷出的点数相同”，则 ( ) A．A与B互斥 B．B与C相互独立 C．P(A)＝ D．P(AC)＝ (2)(2025·衡阳模拟)(多选题)在一个有限样本空间中，事件A，B，C发生的概率满足P(A)＝P(B)＝P(C)＝，P(A∪B)＝，A与C互斥，则下列说法正确的是 ( ) A．P(A)＝ B．A与B相互独立 C．P(ABC)＝ D．P(A∪B∪C)≤ [听课记录]_____ _____ (1)相互独立事件同时发生的概率等于它们各自发生的概率之积． (2)当正面计算较复杂或难以入手时，可以从其对立事件入手计算．训练2 (多选题)有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中不放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是奇数”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是偶数”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是奇数”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是偶数”，则 ( ) A．乙发生的概率为 B．丙发生的概率为 C．甲与丁相互独立 D．丙与丁互为对立事件 微点三 条件概率与全概率公式 考向1 条件概率 例3 (1)(2023·全国甲卷)某地的中学生中有60%的同学爱好滑冰，50%的同学爱好滑雪，70%的同学爱好滑冰或爱好滑雪．在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率为 ( ) A．0.8 B．0.6 C．0.5 D．0.4 (2)(2024·天津高考)A，B，C，D，E五种活动，甲、乙都要选择三个活动参加．甲选到A的概率为_____；已知乙选了A活动，他再选择B活动的概率为_____． [听课记录]_____ _____ 求条件概率的常用方法 (1)定义法：P(B| ... ...
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