(课件网) 1.4 线段的垂直平分线 第一章 三角形的证明 第2课时 三角形三边的垂直平分线与作图 1. 回顾一下线段的垂直平分线的性质定理和判定定理. 2. 线段的垂直平分线的作法. A B C D 性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等. 判定：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 前面我们用尺规作出了满足一定条件的直角三角形，那么，你能用尺规作出满足一定条件的等腰三角形吗 尺规作图 1 尝试交流： (1) 已知三角形的一条边及这条边上的高，你能作出三角形吗 如果能，能作几个 所作出的三角形都全等吗 (2) 已知等腰三角形的底及底边上的高，你能用尺规作出满足条件的等腰三角形吗？能作几个？ 梳理上述作图过程，请你总结“已知底边和底边上的高，用尺规作这个等腰三角形”的方法和步骤。 已知：线段 a，h. 求作：△ABC，使 AB = AC，BC = a， 高 AD = h. l D C B a h A 作法：1. 作线段 BC = a； 2. 作线段 BC 的垂直平分线 l 交 BC 于点 D； 3. 在 l 上作线段 DA，使 DA＝h . 4. 连接 AB，AC. 则△ABC 为所求的等腰三角形. 思考交流 还记得用尺规过直线 l 上一点 P 作 l 的垂线的方法吗？这种方法将作直线的垂线问题转化为作线段的垂直平分线问题。如果点 P 在直线 l 外呢？此时，还能运用这种转化的方法吗？请你试一试，并与同伴进行交流。 3. 作线段 AB 的垂直平分线 m. 2. 以点 P 为圆心，以 PQ 的长为半径作弧，交直线 l 于 A，B. B A 作法： ● P C D l m 1. 任取一点 Q，使点 Q 与点 P 在直线 l 两旁. 直线 m 就是所要作的直线. Q 已知直线 l 和线外一点 P，利用尺规作 l 的垂线，使它经过点 P. 例2 已知：如图，在△ABC 中，边 AB 的垂直平分线 PD 与边 BC 的垂直平分线 PE 相交于点 P。 求证：边 AC 的垂直平分线经过点 P。 B C A P D E 分析：要证明点 P 在边 AC 的垂直平分线上，需要什么条件？ 已知的两条垂直平分线相交于点 P，由此你能得到哪些相关的结论？ 三角形三边的垂直平分线的性质 2 证明：如图，连接 PA，PB，PC。 ∴点 P 在 BC 的垂直平分线上 (到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上)， ∴ PA = PB = PC。 ∴PA = PB，( 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 )。 同理，PB = PC。 ∵点 P 在 AB 的垂直平分线上， B C A P D E 即边 AC 的垂直平分线经过点 P。 应用格式： ∵ 点 P 为 △ABC 三边垂直平分线的交点， ∴ PA = PB = PC． A B C P 归纳总结 定理：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等. 1.分别作出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形三边的垂直平分线，说明交点分别在什么位置. 锐角三角形三边的垂直平分线交点在三角形内； 直角三角形三边的垂直平分线交点在斜边中点处； 钝角三角形三边的垂直平分线交点在三角形外. 试一试 1. 定理：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等. A B C P l1 l2 l3 2. 已知等腰三角形的底边和底边上的高作等腰三角形. 1. 如图，等腰△ABC 中，AB = AC，∠A = 20°．线段 AB 的垂直平分线交 AB 于 D，交 AC 于 E，连接 BE，则∠CBE 等于 ( ) A．80° B．70° C．60° D．50° C B A D E C 2. 如图所示，在△ABC 中，∠B＝22.5°，AB 的垂直平分线交 BC 于点 D，DF⊥AC 于点 F， 并与 BC 边上的高 AE 交于 G. 求证：EG＝EC. F A B C E G D 证明：连接 AD. ∵点 D 在线段 AB 的垂直平分线上， ∴EG＝EC. ∴△DEG≌△AEC (ASA). ∴∠CAE＝∠CDF. ∴∠C＋∠CAE＝∠C＋∠CDF＝90°. 又∵ DF⊥AC，∴∠DFC＝∠AEC＝90°. ∴ AE＝DE. ∵ AE⊥BC，∴∠DAE＝∠ADE＝45°. ∴ ... ...
