强基部25级月段检测数学试题 2025年12月 一、单选题 1．已知集合，则（ ） A． B． C． D． 2．已知向量，不共线，且，则向量在向量上的投影向量为（ ） A． B． C． D． 3．已知函数在上是减函数，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 4．在平行四边形中，，是线段DE的中点，连接交于O，若，则（ ） A．1 B． C． D． 5．已知．若，则（ ） A．k B．－k C．1－k D．2－k 6．已知点，，为坐标原点，若，的夹角为锐角，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 7．已知函数的定义域为R，且满足，当时，，则（ ） A．2026 B．2025 C．2027 D．2024 8．如图，正六边形的边长为，半径为的圆的圆心为正六边形的中心，若点在正六边形的边上运动，动点、在圆上运动且关于圆心对称，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 二、多选题 9．下列结论中正确的是（ ） A．若角的终边过点，则 B．若是第二象限角，则为第二象限或第四象限角 C．对任意，恒成立 D．若，，则 10．已知平面向量，则（ ） A．当时， B．当时，的最小值为 C．当时， D．当时， 11．已知函数，则下列说法正确的是（ ） A．是函数的周期 B．函数在区间上单调递增 C．函数的图象可由函数向左平移个单位长度得到 D．函数的对称轴方程为 三、填空题 12．已知向量，，若，则 13．相互独立事件A、B满足，则 ． 14．已知函数，点，分别为函数图象上的最高点和最低点，若线段的长度的最小值为，且，则的值为 . 四、解答题 15．已知定义域为的函数是奇函数． (1)求的值． (2)判断函数的单调性，并用定义证明． (3)当时，恒成立，求实数的取值范围． 16．已知向量与的夹角为，且，，若，. (1)当时，求实数的值； (2)求的最小值. 17．已知函数，的图象关于轴对称. (1)求角的值； (2)角，，锐角满足，求的值. (1)求频率分布直方图中的的值，并估计所抽取的50名学生成绩的平均数 中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表，中位数请用分数表示）； (2)若高一年级共有480名学生，试估计高一学生中这次测试成绩不低于70分的人数； (3)若利用分层抽样的方法从样本中成绩不低于70分的三组学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取3人参加这次考试的考后分析会，试求后两组中至少有1人被抽到的概率. 19．已知双曲正弦函数 ，双曲余弦函数 . (1)求证下列式子均为定值 ①； ② (2)求函数 在上的最小值; (3)若，，有 恒成立，求实数的取值范围. 注：函数 在 上递减，在 上递增. 答案第1页，共2页强基部25级月段检测数学试题答案 1．C 2．D 3．A 4．B 5．D 6．D 7．A 8．C 9．ACD 10．ABD 11．ACD 10【详解】对于A，当时，，即，故A正确； 对于B，当时，即，所以， 当且仅当时取得等号，故B正确； 对于C，当时，则，所以， 解之得或，故C错误； 对于D，当时，则，所以， 而，则，故D正确. 11．ACD【详解】因为，所以是函数的周期，故A正确； ∵，∴，又在上不单调，故B错误； ∵函数向左平移个单位长度得到，故C正确； 令，得，故D正确， 12． 13． 14． 14【详解】令，则原函数可化为， ∴，的最小正周期为，作出在上的函数图象，如图1， ∴在上的函数图象如图2， 由得，，的最小正周期为，故在的图象如图3， 如图，当点为一个周期内的最高点和最低点时，的长度最小，此时， ∵， ∴，即，解得.故答案为：. 15【详解】（1）因为在定义域为R上是奇函数，所以，即，∴， 则，由， 则当时，原函数为奇函数． （2）由（1）知， 任取，设，则， 因为函数在R上是增函数，，∴．又， ∴，即，∴在上为减函数． （3）因是奇函数，从而不等式：，等价于， 因为减函数，由上式推得：． 即对一切有：恒成立，设， 令，则有， ∴，∴，即k的取值范围为． 16．【详解】（1）因为，所以，即， 所 ... ...
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