课件27张PPT。12.3角平分线的性质 ★ 什么是角的平分线？怎样画一个角的平分线？操作与思考1：C信不信由你如图，AB＝AD，BC＝DC，沿着AC画一条射线AE，AE就是∠BAC的角平分线， 你知道为什么吗？ ２．分别以Ｍ，Ｎ为圆心．大于 ＭＮ的长为半径作弧．两弧在∠AOB的内部交于Ｃ．如何用尺规作角的平分线？AＢ作法： １．以Ｏ为圆心，适当长为半径作弧，交ＯＡ于Ｍ，交ＯＢＮ于．３．作射线OC．则射线ＯＣ即为所求．探究 探索1将角AOB对折,再折出一个直角三角形(使第一条折痕为斜边),然后展开,观察两次折叠形成的三条折痕,你能得到什么结论?OAB角平分线上的点到角的两边的距离相等。在∠AOB的平分线OC上任取一点P，然后，作点P到∠AOB两边的垂线段PD、PE，画一画，量一量，从中你有什么新发现？你能说明其中的道理吗？画一画,想一想,议一议命题：在角平分线上的点到角的两边的距离相等题设：一个点在一个角的平分线上结论：它到角的两边的距离相等已知：OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD ⊥OA ，PE ⊥OB，垂足分别是D、E. 求证：PD=PE.角平分线的性质定理：在角平分线上的点到角的两边的距离相等用符号语言表示为：∵∠1= ∠2 PD ⊥OA ，PE ⊥OB ∴PD=PE.1.如图，OC是∠AOB的平分线， ∵ ∴PD=PEPD⊥OA，PE⊥OB2.如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线交BC于D，BC=15，且CD：DB=1：2，则点D到AB的距离为_____。 3.在Rt△ABC中，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，则：⑴图中相等的线段有哪些？相等的角呢？ ⑵哪条线段与DE相等？为什么？ ⑶若AB＝10，BC＝8，AC＝6， 求BE，AE的长和△AED的周长。练一练3在△ABC中，AC⊥BC，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，AB＝7㎝，AC＝3㎝，求BE的长。EDCBA 4.△ABC中, ∠C=900,AD平分∠ CAB,且 BC=8,BD=5,求点D到AB的距离是多少？（点D到AB的距离是3） 如图，由 于点 D ， 于点 E，PD= PE ， 可以得到什么结论 ？ 议一议 到一个角的两边的距离相等的点， 在这个角的平分线上。 已知：如图， ， ，垂足分别是 A、B，PD=PE ， 求证：点P在 的角平分线上。解：设要截取的长度为Ｘm,则： 要在Ｓ区建一个集贸市场，使它到公路和铁路距离相等，且离公路和铁路的交叉处500米，该集贸市场应建在何处？（比例尺 1：20 000）解得：Ｘ＝0.025m ＝2.5cmＡ则点Ａ即为所求的点想一想 到角的两边的距离相等的点 在角的平分线上。 已知：如图， ， ， 垂足分别是 D、E，PD=PE， 求证：点P在 的角平分线上。证明：作射线OP 点P在 角的平分线上 在 Rt△PDO 和Rt△PEO 中，（ HL）（全等三角形的对应角相等） OP = OP （公共边）PD = PE （ 已 知 ）角平分线的判定角平分线的判定的应用书写格式：OP 是 的平分线PD= PE （到一个角的 两边的距离相等的点， 在这个角的平分线上） ∵角平分线的性质：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。角平分线的判定到一个角的两边的距离相等的点， 在这个角的平分线上。∵PD = PE用途：证线段相等用途：判定一条射线是角平分线例1.如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F， 且BE＝CF。求证：AD是△ABC的角平分线。4.已知：如图，∠C= ∠C′=90° ，AC=AC ′ . 求证（1） ∠ABC= ∠ABC ′ ；（2）BC=BC ′ .（要求不用三角形全等的判定）B5已知：如图，BE⊥AC于E， CF⊥AB于F，BE、CF相交于D， BD=CD 。 求证： AD平分∠BAC 。课堂练习例 已知：如图，△ABC的角平分线BM、CN相 交于点P. 求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等.证明：过点P作PD 、PE、PF分别垂直于AB、BC、CA，垂足为D、E、F ∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上（已知） ∴PD=PE（在角平分线上的点到角的两边的距离相等） 同理 PE=PF. ∴ PD=PE=PF. 即点P到边AB、 ... ...
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