中小学教育资源及组卷应用平台 2026湘教版高中数学必修第二册 第1章 平面向量及其应用 全卷满分150分 考试用时120分钟 一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.已知向量a,b满足|a|=5,|b|=6,a·b=-6,则cos
=( ) A.- B.- C. D. 2.已知点A(2,-1),B(4,2),点P在x轴上,当·取得最小值时,点P的坐标是( ) A.(2,0) B.(4,0) C. D.(3,0) 3.P是△ABC所在平面上一点,且满足|-|-|+-2|=0,则△ABC的形状是( ) A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 4.勒洛三角形是一种典型的定宽曲线,以等边三角形每个顶点为圆心,其边长为半径,在另两个顶点间作一段圆弧,三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形.在如图所示的勒洛三角形中,已知AB=2,P为弧上的点且∠PBC=45°,则·=( ) A.-4 B.2-4 C.+4 D.2+4 5.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,设向量p=(a+c,b),q=(b-a,c-a),若p∥q,则角C的大小为( ) A. B. C. D. 6.在△ABC中,∠A=60°,a=2,b=4,那么满足条件的△ABC( ) A.有一个解 B.有两个解 C.无解 D.不确定 7.山西应县木塔,始建于1056年,是世界上现存最高大、最古老的纯木楼阁式建筑,与意大利比萨斜塔、巴黎埃菲尔铁塔并称“世界三大奇塔”.某同学为了估算木塔MN的高度,在塔的附近找到一座建筑物AB,高为15 m,在地面上点C处(B,C,N在同一水平面上且三点共线)测得木塔顶部M、建筑物顶部A的仰角分别为60°和15°,在A处测得木塔顶部M的仰角为30°,则估算木塔的高度为( ) A.(15+45)m B.(45+15)m C.(15+45)m D.(45+15)m 8.在△ABC中,E,F分别为AB,AC的中点,P为EF上任意一点,实数x,y满足+x+y=0,设△ABC,△PBC,△PCA,△PAB的面积分别为S,S1,S2,S3,记=λi(i=1,2,3),则λ2·λ3取得最大值时,2x+y的值为( ) A.-1 B.1 C.- D. 二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分) 9.关于平面向量a,b,c,下列说法错误的是( ) A.若a∥b,a≠0,则存在λ∈R,使得b=λa B.若a·b=0,则a,b的夹角为直角 C.若a·b=a·c,则b=c D.若a=(2,1),b=(1,m),且a⊥b,则m=-2 10.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若·=2,a=2,则( ) A.b2+c2=8 B.向量,夹角的最小值为 C.A的最大值为 D.△ABC的面积的最小值为 11.下列命题中正确的是( ) A.已知非零向量a,b满足|a|=4|b|,且b⊥(a+2b),则a与b的夹角为 B.若a,b,c是平面内三个非零向量,则(a·b)c=a(b·c) C.若a=(sin θ,),b=(1,),其中θ∈,则a⊥b D.若O是△ABC所在平面上一定点,动点P满足=+λ,λ∈(0,+∞),则直线AP一定经过△ABC的内心 三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分) 12.如图,在△ABC中,N为线段AC上靠近点A的四等分点,P为BN上一点,若=+,则m= . 13.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若b=2,=,则△ABC的面积的最大值为 . 14.如图所示,某海岛上一观察哨A上午11时测得一轮船在海岛北偏东60°方向的C处,12时20分测得轮船在海岛北偏西60°方向的B处,12时40分轮船到达位于海岛正西方向且距海岛5 km的港口E处,如果轮船始终匀速直线前进,则船速为 . 四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(13分)在①csin C=sin A+bsin B,∠B=60°,②c=2,cos A=这两个条件中任选一个作为下面问题的条件,并解答. 已知△ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若a=3, ,求△ABC的面积S. 注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分. 16.(15分)设a,b是两个不共线的非零向量. (1)若4a+kb与ka+b共线 ... ... 
