11.3 公式法 课件(共46张PPT) 2025-2026学年青岛版数学七年级下册

(课件网) 第11章 因式分解 11.3 公式法 借助此前所学的乘法公式能进行因式分解吗 多项式 x2－9 和 m2－25n2，它们有什么共同特征 它们都表示两项的差，且每一项都可以写成平方的形式。 x2－9＝x2－32， m2－25n2＝m2－(5n)2。 怎样将上面两个多项式因式分解 把平方差公式等号两边互换位置，得到 a2－b2＝(a＋b)(a－b)。利用它就可以将上面的式子因式分解。 x2－9 ； m2－25n2 x2－9 ； m2－25n2 x2－9＝x2－32＝(x＋3)(x－3)； m2－25n2＝m2－(5n)2＝(m＋5n)(m－5n)。 两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的乘积，即 a2－b2＝ (a＋b)(a－b)。 将下列各式因式分解： 例 1 (1) 4x2－9； (2)16a2－81b2。 解：原式＝(2x)2－32 ＝(2x＋3)(2x－3)。 解：原式＝(4a)2－(9b)2 ＝(4a＋9b)(4a－9b)。 将下列各式因式分解： 例 2 (1) x4－y4； (2) 4a3b－ab； 解：原式＝(x2＋y2)(x2－y2)＝(x2＋y2)(x＋y)(x－y)。 解：原式＝ab(4a2－1)＝ab(2a＋1)(2a－1)。 (3) (2a＋b)2－(a＋2b)2。 解：原式＝ [(2a＋b)＋(a＋2b)][(2a＋b)－(a＋2b)] ＝ (3a＋3b)(a－b) ＝ 3(a＋b)(a－b)。 因式分解时，所有的因式要分解到不能再继续分解为止。 如图 11.3-1，每个图中先将 n2 (n≥3，n 为正整数) 个边长为 1 的小正方形拼成一个大正方形，再将右上角的 1 个小正方形去掉，每个图形中剩下的小正方形能够重新拼成一个长和宽都不等于 1 的长方形吗 为什么 能. 理由：n2－1＝(n＋1)(n－1). 1.下列多项式是否可以用平方差公式进行因式分解 如果可以，写出因式分解的结果。 (1) a2－4b2； (2) －4m2＋n2； (3) 4x2－(－b)2； (4) 9a2＋4b2； (5) x2－； (6) x2＋。 解：可以因式分解的有(1)(2)(3)(5). (1) a2－4b2； (2) －4m2＋n2； (3) 4x2－(－b)2； (5) x2－。 原式＝a2－(2b)2＝(a＋2b)(a－2b). 原式＝n2－4m2＝n2－(2m)2＝(n＋2m)(n－2m). 原式＝(2x)2－b2＝(2x＋b)(2x－b). 原式＝x2－()2＝(x＋)(x－). 2. 将下列各式因式分解： (1) 2x2－8； (2) 56a2－14b2； 解：原式＝2(x2－4)＝2(x＋2)(x－2). 解：原式＝14(4a2－b2)＝14(2a＋b)(2a－b). (3) －2x4＋32x2； (4) (2a－b)2－(a＋b)2。 解：原式＝－2x2(x2－16)＝－2x2(x＋4)(x－4). 解：原式＝ [(2a－b)＋(a＋b)][(2a－b)－(a＋b)] ＝ (2a－b＋a＋b)(2a－b－a－b) ＝ 3a(a－2b). 3. 手表表盘的外圆直径为 34 mm，内圆直径为 26 mm，在外圆与内圆之间涂有荧光材料。求涂有荧光材料的圆环的面积(π≈3.14)。怎样计算比较简便 解：由题意，得 π ()2－π ()2 ＝ π (172－132) ＝ π (17＋13)(17－13) ＝ 120π≈376.8 (mm2)， 所以涂有荧光材料的圆环的面积约是 376.8 mm2. 利用平方差公式可以进行因式分解，用完全平方公式能进行因式分解吗 观察多项式 x2＋2x＋1和 m2－4mn＋4n2，它们有什么共同特征 这两个多项式都是三项，都满足 a2＋2ab＋b2 或 a2－2ab＋b2 的形式。 怎样将上面两个多项式因式分解 x2＋2x＋1； m2－4mn＋4n2 把 (a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 或 (a－b)2＝a2－2ab＋b2 的等号两边互换位置，就可以将多项式因式分解。 x2＋2x＋1； m2－4mn＋4n2 运用乘法公式可得 x2＋2x＋1 ＝ x2＋2 x 1＋12 ＝ (x＋1)2。 m2－4mn－4n2 ＝ m2－2 m 2n＋(2n)2 ＝ (m－2n)2。 两数的平方和，加上(减去)这两数乘积的 2 倍，等于这两数和(差)的平方，即 a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2， a2－2ab＋b2＝(a－b)2。 形如 a2＋2ab＋b2 和 a2－2ab＋b2 的式子叫作完全平方式。我们可以利用乘法公式对某些多项式进行因式分解，这种因式分解的方法叫作公式法。 将下列各式因式分解： 例 3 (1) x2＋10x＋25； (2) 9a2－6ab＋b2。 解：x2＋10x＋25 ＝ x2 ... ...