12.4 复数的三角形式--2026苏教版高中数学必修第二册章节练（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台 2026苏教版高中数学必修第二册 12.4　复数的三角形式 基础过关练 题组一　复数的三角形式 1.下列结论中正确的是(　　) A.复数z的任意两个辐角之间都差2π的整数倍 B.任何一个非零复数的辐角都有无数个,但辐角主值有且只有一个 C.实数0不能写成三角形式 D.复数0的辐角主值是0 2.(2025湖南衡阳期末)复数z=-3-i的辐角主值为(　　) A. 3.(2024广东华南师范大学附属中学开学考试)若复数z=的辐角主值为(　　) A. 4.若复数z满足,则z的代数形式是z=　　　　. 5.把下列复数表示成三角形式,并画出与之对应的向量. (1)6;(2)1+i;(3)1-i. 题组二　复数三角形式的乘除运算及其几何意义 6.(2025山东青岛期中)已知复数z=a+bi(a,b∈R)可以表示为z=r(cos θ+isin θ),其中r==(1,2)绕原点O逆时针旋转90°,长度变为原来的2倍后,得到向量的坐标为(　　) A.(2,-4)　　　　B.(-4,2)　　　　 C.(-2,4)　　　　D.(4,-2) 7.(多选题)(2024江苏南通如皋教学质量调研)在复平面内,⊥,O是坐标原点,则z2可能是(　　) A.-i 8.(2025江苏南京一中阶段检测)我们知道复数三角形式的乘法公式为r1(cos θ1+isin θ1)·r2(cos θ2+isin θ2)=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)],棣莫弗发现了[r(cos θ+isin θ)]n=rn(cos nθ+isin nθ),其中r>0,n∈N*. (1)已知z=i,求zw+zw3的三角形式; (2)已知θ0为定值,0≤θ0≤π,将复数1+cos θ0+isin θ0化为三角形式; (3)设复平面上单位圆内接正二十边形的20个顶点对应的复数依次为z1,z2,…,z20,求复数,…,在复平面内所对应不同点的个数. 答案与分层梯度式解析 12.4　复数的三角形式 基础过关练 1.B　对于A,复数0的辐角为任意值,其两个辐角之差不一定为2π的整数倍,A错误; 对于B,任何一个非零复数的辐角都有无数个,但辐角主值有且只有一个,B正确; 对于C,0×(cos θ+isin θ)=0(θ∈R),故实数0能写成三角形式,C错误; 对于D,复数0的辐角主值不唯一,D错误. 2.A　z=-3-, 所以辐角主值为. 3.B　因为z=. 4.答案　1+i 解析　设, ∴z0=i, ∴i. 5.解析　设所给复数的模为r,辐角主值为θ. (1)6对应的向量如图①中, ∵r=6,cos θ=1,sin θ=0,θ∈[0,2π), ∴θ=0,∴6=6(cos 0+isin 0). (2)1+i对应的向量如图②中, ∵r=,θ∈[0,2π),∴θ=, ∴1+i=. (3)1-i对应的向量如图③中, ∵r=,θ∈[0,2π), ∴θ=, ∴1-. (4)-i对应的向量如图④中, ∵r=1,cos θ=-,θ∈[0,2π), ∴θ=,∴-. 　 　 解题模板　将复数的代数形式转化为三角形式的步骤:(1)求模;(2)确定辐角主值;(3)写出三角形式. 6.B　设以射线OZ1为终边的角为θ1,|(cos θ1+isin θ1), 可得cos θ1=, 则向量的坐标为(-4,2). 7.AC　z1=i 或z2=i. 8.解析　(1)zw+zw3=zw(1+w2)=. (2)1+cos θ0+isin θ0=2cos2= 2cos. (3)正二十边形每边所对的中心角为,设z1=cos θ+isin θ(θ为常数), 则zk=(cos θ+isin θ),k=1,2,…,20, 所以　 =(cos 2 024θ+isin 2 024θ), 由周期性可知,共有5个不同的值, 故复数在复平面内所对应不同点的个数为5. 21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 21世纪教育网(www.21cnjy.com) ... ...