2025-2026学年人教A版数学选择性必修第二册课后达标第四章　4.1.2数列的递推公式及前n项和（含解析）

4.1.2数列的递推公式及前n项和 一．选择题 1.已知数列{an}满足a1=-,an=1-(n>1),则a4等于(　　) A. B. C.- D. 2.已知数列{an}的前n项和Sn=-n2,则(　　) A.an=2n+1 B.an=-2n+1 C.an=-2n-1 D.an=2n-1 3.已知数列{an}对任意的p,q∈N*满足ap+q=ap+aq,且a2=-6,那么a10等于(　　) A.-165 B.-33 C.-30 D.-21 4.在数列{an}中,an-1=man+1(n>1),且a2=3,a3=5,则实数m等于(　　) A. B. C.2 D.3 5.数列{an}定义如下:a1=1,当n≥2时,an=若an=,则n的值等于(　　) A.7 B.8 C.9 D.10 6.意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例,引入“兔子数列”: 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,…,即F(1)=F(2)=1,F(n)=F(n-1)+F(n-2)(n≥3,n∈N*),此数列在现代物理“准晶体结构”、化学中都有着广泛的应用.若此数列被2整除后的余数构成一个新数列{an},则数列{an}的前1 022项的和为(　　) A.682 B.673 C.680 D.1 022 7.已知数列{an}满足an+1·(1-an)=1,且a1=-,则a4 022等于(　　) A.3 B.- C. D. 8.已知数列{an}满足anan+1=3n,且a1=1,则数列{an}的前9项和S9=(　　) A.160 B.241 C.243 D.484 9.(多选题)已知函数f(x)=若数列{an}满足a1=,an+1=f(an),n∈N*,则下列说法正确的是(　　) A.该数列具有周期性且周期为3 B.该数列不具有周期性 C.a1 021+a1 022= D.a1 021+a1 022= 10.九连环是中国的一种智力游戏,环环相扣,趣味无穷.如图,它主要由九个圆环及框架组成,每个圆环都连有一个直杆,各直杆在后一个圆环内穿过,九个直杆的另一端用平板或者圆环相对固定,圆环在框架上可以解下或者套上.九连环游戏按某种规则将九个环全部从框架上解下或者全部套上.将第n个圆环解下最少需要移动的次数记为f(n)(n≤9,且n∈N*),已知f(1)=1,f(2)=1,且通过该规则可得f(n)=f(n-1)+2f(n-2)+1,则解下第5个圆环最少需要移动的次数为(　　) A.7 B.16 C.19 D.21 11.由1,3,5,…,2n-1,…构成数列{an},数列{bn}满足b1=2,当n≥2时,bn=,则b6的值是(　　) A.9 B.17 C.33 D.65 12.已知数列{an}的前n项积为n2,那么当n≥2时,an等于(　　) A.2n-1 B.n2 C. D. 二．填空题 13.设数列{an}满足a1=3,Sn=2an+1,n≥2,则a5=　　　　　. 14.已知Sn是数列{an}的前n项和,且log3(Sn+1)=n+1,则数列{an}的通项公式为　　　　　　　　. 15.若数列{an}满足(n-1)an=(n+1)·an-1(n≥2),且a1=1,则=　　　　　; a100=　　　　　. 16.设数列{an}满足a1+a2+a3+…+an=n2,则an=　　　　　. 17.我们可以利用数列{an}的递推公式an=(n∈N*)求出这个数列各项的值,使得这个数列中的每一项都是奇数.研究发现,该数列中的奇数都会重复出现,那么a40=　　　　　,第8个5是该数列的第　　　　　项. 三．解答题 18.已知数列{an}满足a1=1,an+1=pan+qn,其中p,q均为正数,且a2=3,a4=13. (1)求p,q的值; (2)求an+3与an的递推公式. 19.已知数列{an}满足a1=3,an+1=2an+1,写出数列的前6项并归纳出数列{an}的通项公式. 20.已知数列{an}满足a1=m(m为正整数),an+1=若a4=4,求m所有可能的取值. 4.1第2课时　数列的递推公式及前n项和 一．选择题 1.C 由题意可知a2=1-=5,a3=1-,a4=1-=-. 2.B 由an=Sn-Sn-1(n≥2),得an=1-2n(n≥2),当n=1时,S1=a1=-1,符合上式. 故an=-2n+1. 3.C 由已知得a2=a1+a1=2a1=-6,即a1=-3.故a10=2a5=2(a2+a3)=2a2+2(a1+a2)=4a2+2a1=4×(-6)+2×(-3)=-30. 4.A 由题意得a2=ma3+1,即3=5m+1, 故m=. 5.C 因为a1=1,所以a2=1+a1=2,a3=,a4=1+a2=3, a5=,a6=1+a3=,a7=,a8=1+a4=4,a9=,所以n=9. 6.A 由数列1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,…各项除以2的余数, 可得{an}为1,1,0,1,1,0,1,1,0,1,1,0,…,故{an}具有周期性,且周期为3,一个周期中的三项和为1+1+0=2. 因为1 022=340×3+2,所以数列{an}的前1 022项的和为340×2+1+1=682. 7.C ∵an+1·(1-an)=1,且a1=-,∴a2=,a3=3,a4=-, ... ...