3.1.2.2直线与椭圆的位置关系 一．选择题 1.若点P(a,1)在椭圆=1的内部,则a的取值范围为( ) A. B. C. D. 2.直线y=kx-k+1与椭圆=1的位置关系为( ) A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定 3.已知过原点的直线l与曲线C:+y2=1相交,直线l被曲线C所截得的线段长等于,则直线l的斜率等于( ) A. B.± C. D.±1 4.直线y=x+1被椭圆=1所截得的弦的中点坐标是( ) A. B. C. D. 5.以F1(-1,0),F2(1,0)为焦点且与直线x-y+3=0有公共点的椭圆中,离心率最大的椭圆的方程是( ) A.=1 B.=1 C.=1 D.=1 6.(多选题)已知F1,F2分别为椭圆C:+y2=1的左、右焦点,不过原点O且斜率为1的直线l与椭圆C交于P,Q两点,则下列结论正确的有( ) A.椭圆C的离心率为 B.椭圆C的长轴长为2 C.若点M是线段PQ的中点,则MO的斜率为- D.△OPQ的面积的最大值为 7.若点O和点F分别为椭圆=1的中心和左焦点,点P为椭圆上的任意一点,则的最大值为( ) A.2 B.3 C.6 D.8 8.若直线mx+ny=4和圆x2+y2=4没有交点,则过点(m,n)的直线与椭圆=1的交点的个数为( ) A.0或1 B.2 C.1 D.0 9.经过椭圆+y2=1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l,交椭圆于A,B两点.设O为坐标原点,则的值等于( ) A.- B. C.- D. 10.(多选题)已知椭圆的方程为=1,斜率为k(k≠0)的直线不经过原点O,且与椭圆相交于A,B两点,M为线段AB的中点,则下列结论正确的是( ) A.直线AB与OM垂直 B.若点M的坐标为(1,1),则直线AB的方程为2x+y-3=0 C.若直线AB的方程为y=x+1,则点M的坐标为 D.若直线AB的方程为y=x+2,则|AB|= 二．填空题 11.若椭圆=1内的一条弦被点(4,2)平分,则此弦所在直线的斜率为 . 12.已知椭圆4x2+y2=1及直线y=x+m,当直线与椭圆有公共点时,实数m的取值范围是 . 13.椭圆=1上的点到直线x-2y-12=0的距离的最大值为 ,取得最大值时对应的点的坐标为 . 14.若方程=x+m有实根,则实数m的取值范围是 . 15.已知O为坐标原点,椭圆方程为=1,斜率为1的直线与椭圆交于A,B两点,M为线段AB的中点,则|OM|的取值范围是 . 三．解答题 16.已知直线x+y-1=0与椭圆ax2+by2=1相交于A,B两点,C是线段AB的中点,O为坐标原点,若|AB|=2,直线OC的斜率为,求椭圆的方程. 17.已知椭圆C:=1(a>b>0)的左顶点为M(-2,0),离心率为. (1)求椭圆C的方程; (2)过点N(1,0)的直线l交椭圆C于A,B两点,当取得最大值时,求△MAB的面积. 18.已知椭圆C:=1(0
0,x1+x2=0,x1x2=-,所以|AB|=,解得k=±1.故选D. 4.C 设A(x1,y1),B(x2,y2)为直线与椭圆的交点,直线被椭圆所截得的弦的中点为M(x0,y0), 由得3x2+4x-2=0. ∴x0==-,y0=x0+1=, ∴中点M的坐标为. 5.C 设椭圆方程为=1(a>1),由得(2a2-1)x2+6a2x+(10a2-a4)=0,由Δ=36a4-4(2a2-1)(10a2-a4)≥0,且a>1,得a≥,所以e=,即椭圆的离心率最大为,此时a=,椭圆方程为=1. 6.ACD 因为a2=2,b2=1,所以c2=1,所以e=,故A正确; 因为a=,所以2a=2,故B错误; 设点P(x1,y1),Q(x2,y2),因为l与椭圆C交于P,Q两点,所以联立+(y1+y2)(y1-y2)=0,即=-,即kOM·kPQ=-,因为kPQ=kl=1, 所以kOM=-,故C正确; 设直线l:y=x+m(m≠0),由得3x2+4mx+2m2-2=0,因为直线与椭圆相交,所以Δ=16m2-12(2m2-2)>0,解得0 ... ... 
