中考数学模型常考专练模型四：截长补短模型（PDF，含答案）

中考数学@常考模型专练 模型四截长补短模型 类型 1 构造相等线段 1．[2023湖北武汉]问题提出如图 1， 是菱形 边 上一点，△ 是等腰三角形， = ，∠ = ∠ = ( ≥ 90 )， 交 于点 ，探究∠ 与 的数量关系；（无需作答） 问题探究 （1）先将问题特殊化，如图 2，当 = 90 时，直接写出∠ 的大小； （2）再探究一般情形，如图 1，求∠ 与 的数量关系； 1 问题拓展将图 1 特殊化，如图 3，当 = 120 时，若 = ，求 的值. 2 2．如图，∠ = 90 ， = ， ⊥ ， = + . （1）直接写出 与 的数量关系； （2）延长 到 ，使 = ，延长 到 ，使 = ，连接 .求证： ⊥ ； （3）在（2）的条件下，连接 ,作∠ 的平分线，交 于点 ，求证： = . 11/43 中考数学@常考模型专练 3．在△ 中，∠ = 90 ， 为△ 内一点，连接 ， ，延长 到点 ，使得 = . （1）如图 1，延长 到点 ，使得 = ，连接 ， ，若 ⊥ ，求证： ⊥ ; （2）连接 ，交 的延长线于点 ，连接 ，依题意补全图 2，若 2 = 2 + 2，用等 式表示线段 与 的数量关系，并证明. 类型 2 构造√ 、√ 倍数量关系 4．在 中，∠ = 90 ，点 在 上，点 在 上，点 在 的延长线上，连接 ， . ∠ = ∠ ， = = . （1）如图 1，当 = 1时，请用等式表示线段 与线段 的数量关系：_____； （2）如图 2，当 = √3时，写出线段 ， 和 之间的数量关系，并说明理由； （3）在（2）的条件下，当点 是 的中点时，连接 ，求tan∠ 的值. 12/43 中考数学@常考模型专练 5．在菱形 和正三角形 中，∠ = 60 ， 是 的中点，连接 、 . （1）如图 1，当点 在 边上时，写出 与 的数量关系.（不必证明） （2）如图 2，当点 在 的延长线上时，线段 、 有怎样的数量关系？写出你的猜想，并 给予证明. （3）如图 3，当点 在 的延长线上时，线段 、 又有怎样的数量关系？写出你的猜想（不 必证明）. 6．在△ 中，∠ = 90 ， = ，线段 绕点 逆时针旋转至 ( 不与 重合)， 旋转角记为 ，∠ 的平分线 与射线 相交于点 ，连接 . （1）如图①，当 = 20 时，∠ 的度数是_____； （2）如图②，当0 < < 90 时，求证： + 2 = √2 ； （3）当0 < < 180 ， = 2 时，请直接写出 的值. 13/43中考数学@常考模型专练 模型四 截长补短模型 类型 1 构造相等线段 1．[2023湖北武汉]问题提出如图 1， 是菱形 边 上一点，△ 是等腰三角形， = ，∠ = ∠ = ( ≥ 90 )， 交 于点 ，探究∠ 与 的数量关系；（无需作答） 问题探究 （1）先将问题特殊化，如图 2，当 = 90 时，直接写出∠ 的大小； （2）再探究一般情形，如图 1，求∠ 与 的数量关系； 1 问题拓展将图 1 特殊化，如图 3，当 = 120 时，若 = ，求 的值. 2 答案：解:问题探究（1）45 . （2）在 上截取 ，使 = ，连接 . ∵ ∠ + ∠ + ∠ = ∠ + ∠ + ∠ = 180 ，∠ = ∠ ，∴ ∠ = ∠ . ∵ = , = ，∴△ ≌△ . ∵ = ， = ，∴ = . ∵ ∠ = ， ∴ ∠ = 90 1 . 2 1 ∴ ∠ = 90 + . 2 17/96 中考数学@常考模型专练 1 3 ∴ ∠ = ∠ ∠ = ∠ ∠ = (90 + ) (180 ) = 90 . 2 2 问题拓展过点A作CD的垂线交CD的延长线于点P，设菱形ABCD的边长为3 ( > 0). 1 ∵ = ，∴ = ， = 2 . 2 ∵ ∠ = ∠ = 120 ， ∴ ∠ = 60 ， 3 3√3 ∴在Rt △ 中， = ， = . 2 2 3 3 由（2）知，∠ = 90 = × 120 90 = 90 ， 2 2 ∴ ∠ = ∠ . ∵ ∠ = ∠ ，∴△ △ . 3√3 5 ∴ = ，∴ 2 = 2 ， 2 6√3 ∴ = ， 5 √3 6 同（2）中方法得 = = ， 3 5 9 2 ∴ = . ∴ = . 5 3 2．如图，∠ = 90 ， = ， ⊥ ， = + . （1）直接写出 与 的数量关系； （2）延长 到 ，使 = ，延长 到 ，使 = ，连接 .求证： ⊥ ； （3）在（2）的条件下，连接 ,作∠ 的平分线，交 于点 ，求证： = . 答案：（1）解：(√2 1) = 18/96 中考数学@常考模型专练 = ... ...