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课件网) 第六章 立体几何初步 §6 简单几何体的再认识 6.2 柱、锥、台的体积 必备知识解读 知识点1 柱、锥、台的体积 几何体 体积 柱体 .其中为柱体的底面积， 为柱体的高． 特别地，.其中为圆柱的底面半径， 为圆柱的高． 锥体 . 底面面积和高均相等的柱体和锥体的体积间的关系为 其中为锥体的底面积， 为锥体的高． 特别地，.其中为圆锥的底面半径， 为圆锥的高． . . 几何体 体积 台体 .（公式的推导可以用两个锥体的体积作 差）其中,分别为台体上、 下底面积， 为台体的高． 特别地，，其中, 分别为圆台的上、下底面的 半径， 为圆台的高． 续表 . . 辨析比较 柱、锥、台体的体积公式之间的关系#1.1.1 柱体可以看作是上、下底面相同的台体，锥 体可以看作是有一个底面是一个点的台体,因此柱 体、锥体的体积公式可以看作是台体体积公式的 “特殊”形式. 知识拓展 台体体积公式的推导（以棱台为例） 设棱台的两个底面面积分别为和，高为 .设截得棱台时割去的小锥体的高 为，则截得这个棱台的大锥体的高为 ,则 ，而 , 所以，则 . 代入上式，得= . 学思用·典例详解 例1-1 [教材改编P253 T2] 长方体三个面的面积分别为2，6和9，则长方体的体积是 _____. 【解析】设长方体的长、宽、高分别为，，，不妨令,, ,相乘 得, .若正方体的棱长为，则其体积 例1-2 一个圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆，则该圆锥的体积为( ) D A. B. C. D. 【解析】由题意知圆锥的母线长为2，底面周长为 ， 则底面半径为1，高为 ， 所以圆锥的体积为 . . . 例1-3 已知一个棱台的两个底面面积分别是和 ,截得这个棱台的棱锥 的高为，则这个棱台的体积为_____ . 2 325 【解析】设棱台的高为，截得这个棱台的棱锥的高为 . 则 ，（面积之比等于高的平方之比） 因为，, , 所以已舍去 , 则这个棱台的体积 . . . 释疑惑 重难拓展 知识点2 几何体体积的计算方法 1.直接法：直接套用体积公式求解. 图6-6.2-1 2.等体积法：在三棱锥中，每一个面都可作为底面.为了求解 的方便，我们经常需要换底，此法在求点到平面的距离时也常用 到. （1）三棱锥的“等积性”，即计算体积时可以用任意一个面 作为三棱锥的底面.如图6-6.2-1所示，有 . （2）利用“等积性”可求点到面的距离，关键是在面中选取三个点，与已知点构 成三棱锥.如构造三棱锥，若求点到平面的距离，可以先求 .因 为，所以 . 3.分割法（一般将分割法与补形法统称为割补法.）：在求一些不规则几何体的 体积时，我们可以将其分割成规则的、 易于求解的几何体分别求体积，再求和. 图6-6.2-2 4.补形法（一般将分割法与补形法统称为割补法.）： 对一些不规则（或难求解）的几何体，我们可以通过补 形，将其补为规则（或易于求解）的几何体.常见情况如 下： （1）将正四面体补为正方体，如图6-6.2-2所示. 图6-6.2-3 （2）将对棱长相等的三棱锥补成长方体，如图6- 6.2-3所示,,, . . . . . 图6-6.2-4 （3）将三条侧棱互相垂直的三棱锥补成长方 体或正方体，如图6-6.2-4所示,, , . （4）将三棱锥补成三棱柱或平行六面体，如图6-6.2-5（1）（2）所示. 图6-6.2-5 （5）将三棱柱补成平行六面体，如图6-6.2-6所示. 图6-6.2-6 （6）将台体补成锥体，如图6-6.2-7所示. 图6-6.2-7 学思用·典例详解 例2-4 在棱长为1的正方体中，分别用过共顶点的三条棱的中点的平面截该正方体， 则截去与8个顶点相关的8个三棱锥后，剩下的几何体的体积为__. 【解析】正方体的体积为1，过共顶点的三条棱的中点的平面截该正方体所得的三棱 锥的体积是，于是8个三棱锥的体积为 ,剩下的几何体的体积 为 . 例2-5 如图6-6.2-8，已知底面半径为 的圆柱被一个平面所截，剩余部分母线长 ... ...
