《5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象》 教学设计（表格式）

教学设计 课题 《正弦函数、余弦函数的图象》 1. 教学内容分析 教材以单位圆三角函数定义为逻辑起点，揭示了正余弦函数图像的理论根源。在平面直角坐标系中，设单位圆上任意一点 P(cosα , sin α) ，当角 α 从 0 开始绕原点旋转时，点 P 的纵坐标 y = sin α 、横坐标 x = cosα 随角 α 的变化而连续变化，这种“角—坐标 ”的对应关系天然具备几何可视化的条件。教材引入图像，本质是将三角函数的代数映射关系转化为平面曲线的几何形态，是“数 ”与“形 ”的必然联结，也为后续用几何方法研究函数性质提供了理论载体。 充分利用了三角函数周期性的特点，从画函数图象上任一点出发，明确作图的原理，再画出具有代表性的点，初步感受图象的特点，最后画出足够多的点，得到对正弦图象的直观认识。这一过程严格遵循“定义—推理—作图 ”的逻辑链。而且抓住五个关键节点，通过“列表—计算—描点—连线 ”快速绘制简图。五点法并非对严谨作图的否定，而是对其的理论简化，体现了数学“抓主要矛盾 ”的思维方式。正余弦函数图象的关系，蕴含着三角函数的核心变换思想，其理论依据是诱导公式。借助已知的直线函数图象来画余弦函数的图象，加强了两者的联系，体现了化归思想。 正余弦函数图象是三角函数理论体系的核心枢纽，承担着“承上启下 ”的理论功能。它承接三角函数的定义与诱导公式，将抽象的代数关系转化为直观的几何图象，让周期、奇偶、单调等性质有了可视化的载体，解决了“性质为何存在 ”的理论根源问题。 y = Asin(①x + φ) 的图象变换提供理论基础， A ， ①, φ 对图象的影响，本质是对 y = sin x 图象的伸缩与平移变换，其理论依据均源于正余弦函数图象的基本特征；同时，图象也为三角函数物理应用、实际应用提供了直观的分析工具。 2. 教学目标 （1）能基于单位圆三角函数定义，阐述正弦函数图象在[0, 2 π ] 上的生成原理，理解“角的弧度数与横坐标对应、三角函数值与纵坐标对应 ”的几何映射关系。 （2）掌握由三角函数周期性，推导 R 上正余弦曲线的逻辑过程，能精准描述两条曲线的核心几何特征。 （3）理解五点法作图的理论依据—正余弦函数在一个周期内的最值点与零点是刻画图象形态的关键节点，能运用该方法规范绘制[0, 2 π ] 内的函数简图。 （4）依据诱导公式从理论层面推导正余弦曲线的平移变换关系，明确二者的图象等价性与相位差异。 数学核心素养目标 （1）直观想象：借助单位圆与三角函数线，建立角的变化与坐标变化的几何关联，形成对正余弦曲线形态的直观认知；能通过图象特征反向推导函数的代数性质，实现“ 以形助数 ”。感悟正余弦函数图象“简洁对称、周期往复 ”的数学美学，体会数学理论的严谨性与直观性的统一。 （2）逻辑推理：基于三角函数定义与周期性定理，严谨推导正余弦曲线的生成过程；依据诱导公式，论证余弦曲线与正弦曲线的平移变换关系，培养演绎推理能力。在逻辑推导与理论论证的过程中，培养严谨的数学思维品质与科学探究精神。 （3）数学抽象：从简谐运动等实际背景中抽象出正余弦函数的图象模型，理解“周期变化的量 ”可通过函数图象实现可视化表达的本质。通过图象与物理简谐运动等实际问题的隐性关联，认识三角函数理论的应用价值，增强对数学抽象理论的探索兴趣。 （4）数学运算：在五点法作图的列表环节，准确计算特殊角的正余弦值，提升运算的准确性与规范性；通过图象变换的参数分析，强化代数运算与几何变换的对应能力。 4.学习活动设计 环节一：创设情境，提出问题 教师活动 学生活动 创设实际情境，通过视频导入，让学生观察单摆实验产生的三角函数的图象，回顾以前物理知识，进一步学习正余弦函数的图象。 设计意图 通过单摆实验观察三角函数的图象，让 ... ...