第三章 导数及其应用

第2讲 导数在研究函数中的应用 一、选择题 1．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是(　　) A．(－∞，2)　　　　　　　　 B．(0,3) C．(1,4) D．(2，＋∞) 解析 f′(x)＝(x－3)′ex＋(x－3)(ex)′＝(x－2)ex，令f′(x)>0，解得x>2. 答案 D 2．设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数f(x)在x＝－2处 取得极小值，则函数y＝xf′(x)的图像可能是(　　) 解析 ∵f(x)在x＝－2处取得极小值， ∴在x＝－2附近的左侧f′(x)<0， 当x<－2时，xf′(x)>0. 在x＝－2附近的右侧f′(x)>0， 当－20，f′(－1)>0，所以f(－1)＋f′(－1)> 0与f′(－1)＋f(－1)＝0矛盾．故选D. 答案 D 6．已知函数f(x)＝＋ax2＋2bx＋c的两个极值分别为f(x1)，f(x2)，若x1，x2分别在区间(0,1)与(1,2)内，则b－2a的取值范围是(　　) A．(－4，－2) B．(－∞，2)∪(7，＋∞) C．(2,7) D．(－5，－2) 解析 由题意，求导可得f′(x)＝x2＋ax＋2b，由 题意可知 所以a，b满足的区域如图所示(不包括边界) ，因为b－2a在B(－1,0)处取值为2，在C(－3，1)处取值为7，所以b－2a的取值范围是(2,7)． 答案 C 二、填空题 7．若函数f(x)＝在x＝1处取极值，则a＝_____． 解析　由f′(x)＝＝0， ∴x2＋2x－a＝0，x≠－1，又f(x)在x＝1处取极值， ∴x＝1是x2＋2x－a＝0的根，∴a＝3. 答案　3 8．已知函数f(x)＝ex－2x＋a有零点，则a的取值范围是_____． 解析　f′(x)＝ex－2.当x＜ln 2时，f′(x)＜0； 当x＞ln 2时，f′(x)＞0. ∴f(x)min＝f(ln 2)＝2－2ln 2＋a， 则函数有零点，即f(x)min≤0. ∴2－2ln 2＋a≤0，∴a≤2ln 2－2. 答案　(－∞，2ln 2－2] 9．已知函数y＝f(x)＝x 3＋3ax2＋3bx＋c在x＝2处有极值，其图像在x＝1处的切线平行于直线6x＋2y＋5＝0，则f(x)极大值与极小值之差为_____． 解析：∵y′＝3x2＋6ax＋3b， ∴y′＝3x2－6x，令3x2－6x＝0，则x＝0或x＝2， ∴f(x)极大值－f(x)极小值＝f(0)－f(2)＝4. 答案：4 10．函数f(x)＝x3＋3ax2＋3[(a＋2)x＋1]有极大值又有极小值，则a的取值范围是_____． 解析：f′(x)＝3x2＋6ax＋3( a＋2)，令3x2＋6ax＋3(a＋2)＝0，即x2＋2ax＋a＋2＝0.因为函数f(x)有极大值又有极小值，所以方程x2＋2ax＋a＋2＝0有两个不相等的实根，即Δ＝4a2－4a－8>0，解得a>2或a<－1. 答案：a>2或a<－1 三、解答题 11．已知函数f(x)＝mx3＋nx2(m、n∈R，m≠0)，函数y＝f(x)的图像在点(2，f(2))处的切线与x轴平行． (1)用关于m的代数式表示n； (2)求函数f(x)的单调增区间． 解　(1)由已知条件得f′(x)＝3mx2＋2nx， 又f′(2)＝0，∴3m＋n＝0，故n＝－3m. (2)∵n＝－3m，∴f(x)＝mx3－3mx2， ∴f′(x)＝3mx2－6mx. 令f′(x)>0，即3mx2－6mx>0， 当m>0时， ... ...