第四章 三角函数、解三角形

第7讲 解三角形的实际应用举例 一、选择题 1．有一长为1的斜坡，它的倾斜角为20°，现高不变，将倾斜角改为10°，则斜坡长为 (　　)． A．1 B．2sin 10° C．2cos 10° D．cos 20° 解析　如图，∠ABC＝20°，AB＝1，∠ADC＝10°，∴∠ABD＝160°. 在△ABD中，由正弦定理得 ＝， ∴AD＝AB·＝＝2cos 10°. 答案　C 2．某人向正东方向走x km后，向右转150°，然后朝新方向走3 km，结果他离出发点恰好是 km，那么x的值为 (　　)． A. B．2 C.或2 D．3 解析　如图所示，设此人从A出发，则A B＝x，BC＝3，AC＝，∠ABC＝30°，由余弦定理得()2＝x2＋32－2x·3·cos 30°，整理得x2－3x＋6＝0，解得x＝或2. 答案　C 3．线段AB外有一点C，∠ABC＝60°，AB＝200 km，汽车以80 km/h的速度由A向B行驶，同时摩托车以50 km/h的速度由B向C行驶，则运动开始几小时后，两车的距离最小(　　) A. B．1 C. D．2 解析 如图所示，设过x h后两车距离为y，则BD＝200－80x，BE＝50x， ∴y2＝(200－80x)2＋(50x)2－2×(200－80x)·50x·cos 60°， 整理得y2＝12 900x2－42 000x＋40 000(0≤x≤2.5)， ∴当x＝时y2最小，即y最小． 答案 C 4. 如图，两座相距60 m的建筑物 AB、CD的高度分别为20 m、50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为 (　　)． A．30° B．45° C．60° D．75° 解析　依题意可得AD＝20(m)，AC＝30(m)，又CD＝50(m)，所以在△ACD中，由余弦定理得cos∠CAD＝＝＝＝，又0°<∠CAD<180°，所以∠CAD＝45°，所以从顶端A看建筑物CD的张角为45°. 答案　B 5．如图所示，为测一树的高度，在地面 上选取A、B两点，从A、B两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且A、B两点间的距离为60 m，则树的高度为(　　) A．(30＋30)m B．(30＋15)m C．(15＋30)m D．(15＋15)m 解析 在△PAB中，∠PAB＝30°，∠APB＝15°，AB＝60 m， sin 15°＝sin(45°－30°)＝sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30° ＝×－×＝， 由正弦定理得：＝， ∴PB＝＝30(＋)， ∴树的高度为PBsin 45°＝30(＋)× ＝(30＋30)m. 答案 A 6. 如图，在湖面上高为10 m处 测得天空中一朵云的仰角为30°，测得湖中之影的俯角为45°，则云距湖面的高度为(精确到0.1 m) (　　)． A．2.7 m B．17.3 m C．37.3 m D．373 m 解析　在△ACE中， tan 30°＝＝.∴AE＝(m)． 在△AED中，tan 45°＝＝， ∴AE＝(m)，∴＝， ∴CM＝＝10(2＋)≈37.3(m)． 答案　C 二、填空题 7．在相距2千米的A，B两点处测量目标点C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，则A，C两点之间的距离为_____千米． 解析　由已知条件∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，得∠ACB＝45°.结合正弦定理得＝，即＝，解得AC＝(千米)． 答案　 8. 如图，一艘船上午 9：30在A处测得灯塔S在它的北偏东30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75°处，且与它相距8 n mile.此船的航速是_____ n mile/h. 解析　设航速为v n mile/h， 在△ABS中，AB＝v，BS＝8 n mile， ∠BSA＝45°， 由正弦定理得：＝，∴v＝32 n mile/h. 答案　32 9．某人站在60米高的楼顶A处测量不可到达的电视塔高，测得塔顶C的仰角为30°，塔底B的俯角为15°，已知楼底部D和电视塔的底部B在同一水平面上，则电视塔的高为_____米． 解析：如图，用AD表示楼高，AE与水平面平行，E在线段BC上，设塔高为h，因为∠CAE＝30°，∠BAE＝15°，AD＝BE＝60，则AE＝＝＝120＋60，在Rt△AEC中，CE＝AE·tan 30°＝(120＋60)×＝60＋40，所以塔高为60＋40＋60＝(120＋40)米． 答案：120＋40 10. 如图，一船在海上 自西向东航行，在A处测得某岛M的方位角为北偏东α角，前进m海里后在B处测得该岛的方位角为北偏东β角，已知该岛周 ... ...