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课件网) 专题十二 类比、拓展探究题 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 类型1 与整合有关的探究 【例1】 (2025·河南)在∠AOB中,点C是∠AOB的平分线上一点,过点C作CD⊥OB,垂足为D,过点D作DE⊥OA,垂足为E,直线DE,OC交于点F,过点C作CG⊥DE,垂足为G. (1)观察猜想 如图1,当∠AOB为锐角时,用等式表示线段CG,OE,OD的数量关系: OD=CG+OE ; (2)类比探究 如图2,当∠AOB为钝角时,请依据题意补全图形(无需尺规作图),并判断(1)中的结论是否仍然成立 若成立,请证明;若不成立,请写出正确结论,并证明; 图1 图2 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 (1)解:如图1,过点C作CP⊥OA于点P,∵OC平分∠AOB,CD⊥OB,CP⊥OA,∴CP=CD,在Rt△POC和Rt△DOC中.∵OC=OC,CP=CD,∴Rt△POC≌Rt△DOC(HL), ∴OP=OD.∵DE⊥OA,CG⊥DE,CP⊥OA,∴∠CPE=∠PEG=∠CGE=90°,∴四边形CPEG是矩形,∴PE=CG,∴OD=OP=PE+OE=CG+OE.故答案为:OD=CG+OE. 图1 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 如图2,过点C作CQ⊥OA于点Q,∵OC平分∠AOB,CD⊥OB,CQ⊥OA, ∴CQ=CD,在Rt△QOC和Rt△DOC中,∵OC=OC,CQ=CD, ∴Rt△QOC≌Rt△DOC(HL),∴OQ=OD.∵DE⊥OA,CG⊥DE,CQ⊥OA, ∴∠CQE=∠QEG=∠CGE=90°,∴四边形CQEG是矩形,∴QE=CG, ∴OD=OQ=QE-OE=CG-OE. 图2 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 1.(2023·河南)李老师善于通过合适的主题整合教学内容,帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光看问题,形成科学的思维习惯.下面是李老师在“图形的变化”主题下设计的问题,请你解答. (1)观察发现 如图1,在平面直角坐标系中,过点M(4,0)的直线l∥y轴,作△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1,再分别作△A1B1C1关于x轴和直线l对称的图形△A2B2C2和△A3B3C3,则△A2B2C2可以看作是△ABC绕点O顺时针旋转得到的,旋转角的度数为 180° ;△A3B3C3可以看作是△ABC向右平移得到的,平移距离为 8 个单位长度; 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 (2)探究迁移 如图2, ABCD中,∠BAD=α(0°<α<90°),P为直线AB下方一点,作点P关于直线AB的对称点P1,再分别作点P1关于直线AD和直线CD的对称点P2和P3,连接AP,AP2,请仅就图2的情形解决以下问题: ①若∠PAP2=β,请判断β与α的数量关系,并说明理由; ②若AD=m,求P,P3两点间的距离; 图2 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 解:(2)①β=2α.理由如下:如图1,连接AP1,由轴对称的性质可得∠PAB=∠BAP1,∠P1AD=∠DAP2, ∴∠PAB+∠DAP2=∠BAP1+∠DAP1=∠BAD=α,∴β=2α. ②如图2,过点D作DG⊥AB,垂足为G.在Rt△AGD中,DG=msin α,设PP1交AB于点M,连接P1P3交CD于点N.∵点P1与点P3关于直线CD对称,∴CD垂直平分P1P3.同理AB垂直平分PP1.在平行四边形ABCD中,AB∥CD,∴点P3在直线PP1上,∴MN⊥AB,PP3=PP1+P1P3=2MN,∴MN=DG,∴PP3=2DG=2msin α. 图1 图2 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 图3 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 图4 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 类型2 与旋转有关的探究 【例2】 (2025·河南南阳模拟)综合与实践 在学习了特殊平行四边形———菱形后,启星学习小组的同学们进行了如下活动. 【提出问题】 小东提出了一个问题:在菱形ABCD中,∠B=60°,将边DC绕点D逆时针旋转α得到线段DE,连接AE,∠CDE的平分线DM所在直线交直线AE于点F,连接CF,探究∠AFC的度数. 类型1 类型2 类型3 类型4 类型5 【探究发现】 小东根据从特殊到一般的思路进行探究: (1)如图1,当α=60°时,∠AFC的度数为 60 °; (2)小东猜想当线段DE在如图2所示的位置时,(1)中的结论仍然成立,请你结合图2,判断小东同学的猜想是否正确,并说明理 ... ...
