1.5 角平分线 学案(2课时,含简略答案) 2025-2026学年数学北师大版八年级下册

第2课时　三角形的三条角平分线 三角形的三条角平分线的性质 性　　质：三角形的三条角平分线相交于　　，并且这一点到三条边的距离　　。 注　　意：（1）到三角形三边距离相等的点是这个三角形三条角平分线的交点； （2）三角形的三条角平分线的交点必在这个三角形的内部。 @归类探究 类型之一　三角形的三条角平分线 　小明做数学作业时遇到一道证明题：求证三角形的三条角平分线交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。 小明首先根据题意画出图形如图1。 图1 然后他将原命题转化为： 已知：在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点I，求证：AI是　　　　。 （1）请帮小明补全命题的结论：AI是　　　　； （2）结合图2，补全下面证明过程（括号中填写定理内容）： 图2 作IP⊥BC于点P，IQ⊥AC于点Q，IR⊥AB于点R。 ∵BI平分∠ABC，IP⊥BC，IR⊥AB， ∴IP＝IR（　　）。 同理：　　， ∴IQ＝IR＝IP， 即点I到△ABC三边的距离相等。 又∵IQ⊥AC，IR⊥AB， ∴（　　）。 类型之二　角平分线的性质定理的运用 　如图，在△ABC中，∠C＝2∠B，AD平分∠BAC。 （1）如图1，当∠C＝90°时，∠CAD的度数为　　。 图1 （2）如图2，在（1）的条件下，过点D作DE⊥AB于点E。若AB＝6，求△DBE的周长。 图2 （3）如图3，当∠C≠90°时，求证：AC＋CD＝AB。 图3 @当堂测评 1.如图，有一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（　　） A.△ABC的三条中线的交点 B.△ABC的三条边的垂直平分线的交点 C.△ABC的三条角平分线的交点 D.△ABC的三条高所在直线的交点 2.如图，在△ABC中，∠B＝90°，依据尺规作图痕迹，有如下三种说法： 甲：BD＝DE； 乙：∠CDE＝∠CAB； 丙：AB＋EC＝AC。 下列判断正确的是（　　） A.只有甲对 B.只有乙对 C.只有丙对 D.三人说的都对 3.如图，△ABC的周长是32，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点D，且OD＝6，则△ABC的面积是　　。 4.如图，某人有一块三角形的土地，已知其面积为6m2，周长为12m，I为△ABC三条角平分线的交点，则点I到△ABC每条边的距离为　　m。 @分层训练 1.如图，在△ABC中，AB＝6cm，BC＝8cm。若BD平分∠ABC且△ABC的面积为28cm2，则点D到边BC的距离为cm。 2.如图，点A在∠EBF的边BE上，点C在边BF上，∠ACF和∠ABC的平分线相交于点D。若∠DBC＝25°，∠DCF＝60°，则∠1＝　　°。 3.[2025春·项城市期末]（1）如图1，AD平分∠BAC，∠B＋∠C＝180°。当∠B＝90°时，根据角平分线的性质，我们可知DB与DC之间的数量关系为　　； 图1 （2）如图2，AD平分∠BAC，∠B＋∠C＝180°。当∠B＜90°时，试说明DB与DC之间的数量关系　　； 图2 （3）如图3，AD平分∠BAC，若∠B＝70°，DB＝DC，则∠ACD的度数为。 图3 4.如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，过点O作EF∥AB，交BC于点F，交AC于点E，过点O作OD⊥BC于点D。 （1）求证：∠AOB＝90°＋∠C； （2）求证：AE＋BF＝EF； （3）若OD＝a，CE＋CF＝2b，请用含a，b的代数式表示△CEF的面积，S△CEF＝　　（直接写出结果）。 5.（推理能力）[2025春·青岛市期末]【探索新知】如图1，AD是△ABC的角平分线，与之间有怎样的关系呢？ 如图1，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，过点A作AH⊥BC，垂足为H。 图1 ∵AD平分∠ABC，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE＝DF。 ∵S△ABD＝AB·DE＝BD·AH，S△ADC＝AC·DF＝DC·AH， ∴＝＝，即＝。 【新知应用】 （1）如图2，AD是△ABC的角平分线，若AB＝5，AC＝3，则＝　　； 图2 （2）如图2，AD是△ABC的角平分线，若＝，则＝　　； 图2 （3）如图3，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，若AB∶BC∶AC＝5∶6∶4，S△ABC＝m，求四边形AEFF的面积（ ... ...