【浙教2024版同步训练】数学八年级下册第2章一元二次方程2.3 一元二次方程根与系数的关系（选学）（知识重点+经典例题+基础训练+培优训练+期末常考+课后作业）（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台 数学八年级下册第2章一元二次方程 2.3 一元二次方程根与系数的关系（选学） 【知识重点】 一、一元二次方程根与系数关系：如果x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根，那么x1+x2= ，x1·x2= .（韦达定理） 二、一元二次方程根与系数关系的应用，概括有下面几种： 1．题目中告诉方程的一个根，求另一个根以及确定方程某个参数的值； 2．已知方程，求关于方程的两根的代数式的值或求作方程； 3．把两个实数作为方程的两个根，求作方程； 4．不解方程判断两个根的符号. 【经典例题】 例题1、已知是关于的一元二次方程的两个实数根． （1）若，求的值； （2）若，求及的值． 【答案】（1） （2）， 例题2、已知关于 的一元二次方程 ． （1）求证：方程有两个不相等的实数根． （2）如果方程的两实数根为 ， 且 ， 求 的值． 【答案】（1）证明：由题意可知： △=[-（2m-2）]2-4（-2m）=4>0 ∴方程有两个不相等的实数根. （2）解： ∴=-=10 或m=3. 例题3、已知关于x的一元二次方程． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两实根为，，且，求m的值． 【答案】（1）解：∵方程 ∴ ， ∴方程有两个不相等的实数根 （2）解：由两根关系得， ∵， ∴， 即 即 解得：； 例题4、已知等腰三角形的三边分别为m、n、4，且m、n是关于x的一元二次方程的两根，则p的值是（　　） A．64 B．48 C．48或64 D．16或20 【答案】A 【解析】∵m、n是关于x的一元二次方程的两根， ∴m+n=16 ∵等腰三角形的三边分别为m、n、4 ， ∴m=n=8，m或n=4不成立 ∴p=mn=64 故答案为：A. 例题5、如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的倍为正整数），则称这样的方程为“倍根方程”．例如：方程的两个根分别是2和4，则这个方程就是“二倍根方程”；方程的两个根分别是1和3，则这个方程就是“三倍根方程”． （1）根据上述定义，是“_____倍根方程”； （2）若关于的方程是“三倍根方程”，求的值； （3）直线：与轴交于点，直线过点，且与相交于点．若一个五倍根方程的两个根为和，且点在的内部（不包含边界），求的取值范围． 【答案】（1）四 （2）解：∵关于的方程是“三倍根方程”， 可设这个方程的两个根分别为， ∴， ∴， ∴； （3）解：设直线解析式为，把代入到中得， ∴， ∴直线解析式为； ∵一个五倍根方程的两个根为和， ∴， ∴点P的坐标为， ∴点P在直线上， 联立，解得， 联立，解得， ∵点在的内部（不包含边界）， ∴． 【解析】（1）解：∵， 变形得到， ∴或， 解得， ∵， ∴是“四倍根方程”； 故答案为：（1）四； 【基础训练】 1．已知关于x的方程x2-(2m-1)x+m2=0的两实数根为x1，x2，若(x1+1)(x2+1)=3，则m的值为（　　） A．-3 B．-1 C．-3或1 D．-1或3 【答案】A 【解析】 ∵方程x2-(2m-1)x+m2=0的两实数根为x1，x2， ∴x1+x2=2m-1 ，x1·x2=m2， ∴ (x1+1)(x2+1)=x1·x2+（x1+x2）+1=3， 即m2+2m-1+1=3， 解得m=-3或1， 当m=1时，方程为x2-x+1=0，此方程无实数根， ∴m=-3. 故答案为：A. 2．设是关于的一元二次方程的两个不同实数根，则的值是（ ） A． B．4 C．7 D． 【答案】C 【解析】，是 方程的两个不同的实数根， ，，， ； 故答案为：C． 3． 已知x1，x2是关于x的方程 的两个实数根，已知等腰△ABC的一边长为3，若x1，x2恰好是△ABC另外两边长，则△ABC周长为(　　) A．9 B．9或11 C．13 D．9或13 【答案】A 【解析】可分为两种情况：①3为底边，则其它两边为腰长，可设 x1=x2=a， 根据根与系数的关系可得：， 解得：， 此时 △ABC周长为 3+3+3=9； ②3为腰长，则其它两边长为3和b， 根据根与系数的关系可得：， 解得：（舍去）， 此时 △ABC周长 ... ...