第五章 四边形 第19讲 平行四边形 1.(2024·辽宁)如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，DE∥AC，CE∥BD.若AC＝3，BD＝5，则四边形OCED的周长为(C) A.4 B.6 C.8 D.16 2.如图，在 ABCD中，F是AD上一点，CF交BD于点E，CF的延长线交BA的延长线于点G，EF＝1，EC＝3，则GF的长为(C) A.4 B.6 C.8 D.10 3.(2025·安徽)在如图所示的 ABCD中，E，G分别为边AD，BC的中点，点F，H分别在边AB，CD上移动(不与端点重合)，且满足AF＝CH，则下列为定值的是(C) A.四边形EFGH的周长 B.∠EFG的大小 C.四边形EFGH的面积 D.线段FH的长 4.(2025·盐城)如图，点E，F在 ABCD的对角线AC上.若 ③ ，则四边形BEDF是平行四边形.请从①BE＝DF；②AE＝CF；③BE∥DF这3个选项中选择一个作为条件(写序号)，使结论成立，并说明理由. 解：理由：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CB∥AD，CB＝AD.∴∠BCE＝∠DAF. ∵BE∥DF，∴∠CEB＝∠AFD. 在△CBE和△ADF中， ∴△CBE≌△ADF(AAS).∴BE＝DF. ∴四边形BEDF是平行四边形.(答案不唯一) 5.(2025·山东)如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8.点P为边AC上异于A的一点，以PA，PB为邻边作 PAQB，则线段PQ的最小值是 4.8 . 6.如图，在 ABCD中，AB＝6，BC＝8，∠ABC＝120°，点E是AD上一动点，将△ABE沿BE折叠得到△A'BE，当点A'恰好落在EC上时，DE的长为 －3 . 7.如图，已知E，F是 ABCD对角线AC上两点，AE＝CF. (1)求证：△ABE≌△CDF； (2)若CH⊥AB交AB的延长线于点H，＝3，BC＝，tan∠CAB＝，求 ABCD的面积. (1)证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD.∴∠BAE＝∠DCF. 在△ABE和△CDF中，∴△ABE≌△CDF(SAS). (2)解：∵＝3，∴CH＝3BH. ∵CH⊥AB于点H，∴∠H＝90°.∴BC2＝BH2＋CH2. ∵BC＝，∴()2＝BH2＋(3BH)2.解得BH＝1.∴CH＝3. 在Rt△ACH中，tan∠CAB＝，∴AH＝4.∴AB＝AH－BH＝4－1＝3. ∴S ABCD＝AB·CH＝3×3＝9. 8.(2024·大庆)如图，平行四边形ABCD中，AE，CF分别是∠BAD，∠BCD的平分线，且E，F分别在边BC，AD上. (1)求证：四边形AECF是平行四边形； (2)若∠ADC＝60°，DF＝2AF＝2，求△GDF的面积. (1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BAD＝∠BCD，AD∥BC. ∵AE，CF分别是∠BAD，∠BCD的平分线， ∴∠BAE＝∠DAE＝∠BAD，∠BCF＝∠DCF＝∠BCD. ∴∠DAE＝∠BCF. ∵AD∥BC，∴∠DFC＝∠BCF.∴∠DAE＝∠DFC.∴AE∥FC.∴四边形AECF是平行四边形. (2)解：由(1)，得∠DFC＝∠BCF，∠BCF＝∠DCF＝∠BCD.∴∠DFC＝∠DCF.∴DF＝DC. 又∠ADC＝60°，∴△DFC是等边三角形.∴∠DFC＝60°. ∵DF＝2AF＝2，∴DC＝CF＝DF＝2，CE＝AF＝1. ∵AD∥BC，∴△DFG∽△ECG.∴. 如图，过点G作GH⊥DF于点H. 在Rt△FGH中，∠GFH＝60°，FG＝.∴GH＝FG·sin 60°＝. ∴S△GDF＝DF·GH＝. 9.综合与实践 问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图①，在 ABCD中，BE⊥AD，垂足为E，F为CD的中点，连接EF，BF，试猜想EF与BF的数量关系，并加以证明. 独立思考：(1)请解答老师提出的问题. 实践探究：(2)希望小组受此问题的启发，将 ABCD沿着BF(F为CD的中点)所在直线折叠，如图②，点C的对应点为C'，连接DC'并延长交AB于点G，请判断AG与BG的数量关系，并加以证明. 问题解决：(3)智慧小组突发奇想，将 ABCD沿过点B的直线折叠，如图③，点A的对应点为A'，使A'B⊥CD于点H，折痕交AD于点M，A'M交CD于点N.该小组提出一个问题：若此 ABCD的面积为20，边长AB＝5，BC＝2，求图中阴影部分(四边形BHNM)的面积. 解：(1)EF＝BF.证明如下：如图①，作FH∥AD交BE于点H. ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC.∴DE∥FH∥CB. ∵F为CD的中点，∴DF＝CF.∴＝1.∴EH＝HB. ∵BE⊥AD，FH∥AD，∴FH⊥BE.∴EF＝BF. (2)AG＝ ... ...
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