微专题6 图形变换中的相似问题 类型一 平移型 1 （2024南通崇川期末）已知在正方形ABCD的边BC上任取一点F，连接AF，一条与AF垂直的直线l（垂足为P）沿AF方向，从点A开始向下平移，交边AB于点E. (1) 当直线l经过AF的中点时，与对角线BD交于点Q，连接FQ，如图1所示，求∠AFQ的度数； (2) 直线l继续向下平移，当点P恰好落在对角线BD上时，交边CD于点G，如图2所示，设AB＝2，BF＝x，DG＝y，求y与x之间的关系式． 图1 图2 类型二 翻折型 2 （2025扬州广陵一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝4，点P在边AD上运动（点P不与点A，D重合）.将△ABP沿直线BP翻折，使得点A落在矩形内的点M处（包括矩形边界）. (1) 求AP的取值范围； (2) 连接DM并延长交边AB于点G，当∠ABM＝2∠ADG时，求AP的长． 备用图 类型三 旋转型 3 （2025盐城一模）如图1，是大家非常熟悉的“一线三直角模型”，受到这模型的启发，我们研究如下问题：如图2，在△ABC中，∠A＝90°，将线段BC绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，作DE⊥AB，交AB的延长线于点E，连接CD并延长交AB的延长线于点F. (1) 若AB＝2，AC＝6，求线段EF的长； (2) 在(1)的条件下，连接CE，交BD于点N，求的值． 图1 图2 4 （2025徐州模拟）在△ABC和△AED中，已知∠ACB＝∠ADE＝α，AC＝BC，AD＝ED. (1) 如图1，当α＝60°时，连接BE，CD，求证：△ABE≌△ACD； (2) 如图2，当α＝90°时，BE交CD于点F，连接AF，求证：BF－AF＝CF； (3) 如图3，当α＝90°时，AC＝4，D是AC的中点，将△ADE绕点A旋转得到△AD1E1，当B，D1，E1三点在同一条直线上时，求点C到直线D1E1的距离． 图1 图2 图3 备用图 微专题6 图形变换中的相似问题 1. 解：(1) 如图1，连接AQ，CQ. 因为四边形ABCD是正方形， 在△ABQ与△CBQ中， 所以△ABQ≌△CBQ(SAS)， 所以QA＝QC，∠BAQ＝∠BCQ. 因为EQ垂直平分线段AF，所以QA＝QF， 所以QC＝QF，所以∠QFC＝∠QCF， 所以∠QFC＝∠BAQ. 因为∠QFC＋∠BFQ＝180°， 所以∠BAQ＋∠BFQ＝180°， 所以∠AQF＋∠ABF＝180°. 因为∠ABF＝90°，所以∠AQF＝90°， 所以∠AFQ＝∠FAQ＝45°. (2) 如图2，过点E作ET⊥CD于点T，则四边形BCTE是矩形， 所以ET＝BC，∠BET＝∠AET＝90°. 因为四边形ABCD是正方形， 所以AB＝BC＝ET，∠ABC＝90°. 因为AF⊥EG，所以∠APE＝90°. 因为∠AEP＋∠BAF＝90°，∠AEP＋∠GET＝90°， 所以∠BAF＝∠GET. 在△ABF与△ETG中， 所以△ABF≌△ETG(ASA)，所以BF＝GT＝x. 因为AD∥CB，DG∥BE，所以＝＝， 所以＝，所以BE＝TC＝xy. 因为GT＝CG－CT，所以x＝2－y－xy， 所以y＝(0≤x≤2). 图1 图2 2. 解：(1) 当点M落在边CD上时，AP的长度达到最大， 因为四边形ABCD是矩形，所以AB＝CD＝5，BC＝AD＝4，∠A＝∠C＝∠D＝90°. 因为△ABP沿直线BP翻折， 所以∠PMB＝∠A＝90°，BM＝AB＝5. 在Rt△BCM中，CM＝＝＝3， 所以DM＝5－3＝2， 所以∠PMD＋∠BMC＝90°，∠PMD＋∠MPD＝90°，所以∠BMC＝∠MPD， 所以△PDM∽△MCB， 所以＝，即＝， 所以PD＝，AP＝. 故AP的取值范围是0＜AP≤. (2) 如图，因为将△ABP沿直线BP翻折，使得点A落在矩形内的点M处， 所以∠ABP＝∠MBP，∠ABM＝2∠ABP. 因为∠ABM＝2∠ADG，所以∠ABP＝∠ADG. 又∠A＝∠A，所以△ADG∽△ABP， 所以＝＝. 设AP＝5x，AG＝4x， 过点M作MH⊥AD于点H，连接AM， 因为将△ABP沿直线BP翻折，使得点A落在矩形内的点M处， 所以AP＝MP＝5x，AM⊥BP， 所以∠DAM＝90°－∠BAM＝∠ABP＝∠ADG，所以AM＝DM， 所以DH＝AH＝2，HP＝2－5x. 因为∠BAD＝∠MHA＝90°，所以MH∥AG， 所以MH为△ADG的中位线， 所以MH＝AG＝2x， 在Rt△PHM中，PM2＝PH2＋HM2， 所以(5x)2＝(2－5x)2＋(2x)2， 解得x1＝，x2＝(不符合题意，舍 ... ...
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