微专题8 锐角三角函数的求值问题 类型一 用定义求值 1 AE，CF是锐角三角形ABC的两条高，若AE∶CF＝3∶2，则sin ∠BAC∶sin ∠ACB＝ Ｗ． 2 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c. (1) 利用三角函数的定义及勾股定理，求证：sin2A＋cos2A＝1； (2)请你探究sin A，cos A与tan A之间的关系； (3) 已知＝，利用第(2)的结论可得tan α的值为 ． 类型二 利用代换求值 3 （2025宿迁宿豫二模）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，⊙O是△ABC的外接圆，点A，B，O在网格线的交点上，则cos ∠ACB的值是 ． 4 （2025盐城东台期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，将△ABC折叠，使点A落在边BC上的点D处，EF为折痕．若AE＝3CE，求sin ∠BFD的值． 类型三 根据特殊角的三角函数值求值 5 在Rt△ABC中，∠C＝90°，若∠B＝2∠A，则tan B的值为 ． 6 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，则tan A＋cos B＝ ． 类型四 借助边的数量关系求值 7 如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”． (1) 请用直尺和圆规画一个“好玩三角形”； (2) 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，tan A＝，求证：△ABC是“好玩三角形”． 8 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且a，b，c满足b2＝(c＋a)(c－a).若5b－4c＝0，求sin A＋sin B的值． 类型五 利用方程思想求值 9 在△ABC中，∠C＝90°，AC＋BC＝7(AC>BC)，AB＝5，则tan B＝ Ｗ． 10 如图，在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AD是∠CAB的平分线，tan B＝，求的值． 类型六 构造直角三角形求值 11 如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，CD平分∠ACB，若S△ACD∶S△BCD＝3∶2，求cos ∠ACB的值． 12 如图，PA与⊙O相切于点A，PC经过⊙O的圆心，且与⊙O交于B，C两点，已知PA＝4，PB＝2. (1) 求cos P的值； (2) 连接AC，求∠ACP的正切值． 微专题8 锐角三角函数的求值问题 1. 2∶3 2. (1) 证明：因为在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c， 所以sin A＝，cos A＝，a2＋b2＝c2， 所以sin2A＋cos2A＝＋＝＝＝1， 即sin2A＋cos2A＝1. (2)解：因为在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c， 所以sin A＝，cos A＝，tan A＝， 所以＝＝＝tan A， 即sin A，cos A与tan A之间的关系是tan A＝. (3) 1 3. 4. 解：设AC＝4a. 因为AC＝BC，AE＝3CE， 所以BC＝4a，AE＝3a，CE＝a，∠A＝∠B. 因为将△ABC折叠，使点A落在边BC上的点D处，EF为折痕， 所以DE＝AE＝3a，∠EDF＝∠A， 所以∠EDF＝∠B， 因为∠CDE＋∠EDF＋∠BDF＝180°＝∠BFD＋∠B＋∠BDF，所以∠CDE＝∠BFD， 所以sin ∠BFD＝sin ∠CDE＝＝. 5. 6. ＋ 7. 解：(1) 如图1，①作一条线段AB； ②作线段AB的垂直平分线，交AB于点O，即O为AB的中点； ③以点O为圆心，AB为半径画圆； ④在圆O上取一点C(点E，F除外)，连接AC，BC， 所以△ABC是“好玩三角形”． (2) 如图2，取AC的中点D，连接BD. 因为∠C＝90°，tan A＝， 所以＝. 设BC＝x，则AC＝2x. 因为D是AC的中点， 所以CD＝AC＝x， 所以BD＝＝＝2x， 所以AC＝BD，所以△ABC是“好玩三角形”． 图1 图2 8. 解：由b2＝(c＋a)(c－a)，得b2＝c2－a2， 所以a2＋b2＝c2， 所以△ABC为直角三角形，且∠C＝90°. 因为5b－4c＝0， 所以设b＝4k(k>0)，则c＝5k. 在Rt△ABC中，由勾股定理，得a＝3k， 所以sin A＋sin B＝＋＝＋＝. 9. 10. 解：在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，tan B＝＝. 设AC＝x，则AB＝2x，BC＝x. 如图，过点D作DE⊥AB于点E. 因为AD是∠CAB的平分线， 所以∠DAE＝∠ADE＝45°， 所以DE＝AE. 设DE＝a，则AE＝a，BE＝2a，DB＝a， ... ...
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