微专题7 零点问题 判断函数零点的个数 【例1】 (2025·安徽淮北二模)已知函数f (x)＝x2－2x＋aln x． (1)若a＝1，求曲线y＝f (x)在x＝1处的切线方程； (2)求证：当a≥0时，f (x)有且仅有一个零点． [解] (1)若a＝1，则f (x)＝－2x＋ln x， f ′(x)＝x－2＋， 所以f ′(1)＝0，f (1)＝－，函数f (x)在x＝1处的切线方程为y＝－． (2)证明：f (x)的定义域为(0，＋∞)，f ′(x)＝x－2＋＝， 当a＝0时，f (x)＝－2x，f (x)有且仅有一个零点4； 当a≥1时，f ′(x)≥0，函数f (x)单调递增， 由f (1)<0，f (4)＝a ln 4>0，知f (x)存在唯一零点x0∈(1，4)； 当0
0，函数f (x)单调递增； 当x∈(x1，x2)时，f ′(x)<0，函数f (x)单调递减； 当x∈(x2，＋∞)时，f ′(x)>0，函数f (x)单调递增； 当x∈(0，1]时，－2x<0，a ln x≤0，所以f (x)<0，函数f (x)无零点； 因为当x∈(1，x2)时，f (x)单调递减，当x∈(x2，＋∞)时，f (x)单调递增， 且f (x2)0，所以f (x)存在唯一零点x0∈(1，4)． 综上所述，当a≥0时，f (x)有且仅有一个零点． 【规律方法】 判断函数零点个数的方法 (1)利用函数单调性和函数零点存在定理 ①讨论函数的单调性，确定函数的单调区间． ②在每个单调区间上，利用函数零点存在定理判断零点的个数． ③注意区间端点的选取技巧． ④含参数时注意分类讨论． (2)利用数形结合 函数的零点个数等于函数图象与x轴的交点个数，因此借助数形结合思想，可通过函数图象判断函数的零点个数． ①利用导数研究函数f (x)的单调性、极值及最值情况，并结合函数值的正负情况及变化趋势，作出函数f (x)的大致图象，然后根据图象判断零点个数． ②若函数f (x)的图象不易直接作出，可根据函数与方程思想将函数零点转化为方程的根，再将方程进行变形，转化为两个函数的图象交点问题，从而判断函数的零点个数． 【跟踪训练1】 已知函数f (x)＝ex－sin x－1． (1)讨论函数f (x)在区间(0，＋∞)上的单调性； (2)证明：函数f (x)在区间(－π，0]内有且仅有两个零点． [解] (1)函数f (x)＝ex－sin x－1，当x>0时，f ′(x)＝ex－cos x>1－cos x≥0， 所以f (x)在(0，＋∞)上单调递增． (2)证明：由(1)知，f ′(x)＝ex－cos x， 当x∈时，f ′(x)>0，函数f (x)在内单调递增，f (－π)＝e－π－1<0，f ＝>0，因此函数f (x)在内有唯一零点； 当x∈时，令g(x)＝ex－cos x， 求导得g′(x)＝ex＋sin x， g′(x)在内单调递增， g′＝－1<0, g′(0)＝1>0，则存在x0∈，使得 g′(x0)＝0， 当x∈时，g′(x)<0，函数g(x)，即f ′(x)单调递减， 当x∈(x0，0)时，g′(x)>0，函数g(x)，即f ′(x)单调递增， 又f ′＝>0， f ′(x0)0，函数f (x)单调递增，当x∈(x1，0)时，f ′(x)<0，函数f (x)单调递减， 而f ＝>0，f (0)＝0，因此函数f (x)在内有唯一零点， 所以函数f (x)在区间(－π，0]内有且仅有两个零点． 根据零点求参数的取值范围 【例2】 (2025·重庆九龙坡三模)已知函数f (x)＝－a ln x－x2＋(a＋1)x，a∈R． (1)当a＝2时，求函数f (x)的极值； (2)设g(x)＝f (x)＋(a－1)ln x＋x2有两个不同的零点x1，x2，求a的取值范围． [解] (1)当a＝2时，f (x)＝－2ln x－x2＋3x，x∈(0，＋∞)， f ′(x)＝－x＋3＝＝， 由f ′(x)>0，得12， 所以当x∈(1，2)时，f (x)单调递增，当x∈(0，1)和x∈(2，＋∞)时，f (x)单调递减， 所以f (x)的极小值为f (1)＝，f (x)的极大值为f (2)＝4－2ln 2． (2)g(x)＝f (x)＋(a－1)ln x＋x2＝－ln x＋(a＋1)x，x∈(0， ... ... 