高考数学二轮专题复习 微专题10　平面向量数量积及最值与范围问题 学案（含解析）

微专题10　平面向量数量积及最值与范围问题 向量数量积及最值(范围) 【例1】　(1)(2025·广东佛山三模)如图，在矩形ABCD中，AB＝2AD＝4，以A为圆心的圆与BD相切于点P，则·＝ (　　) A． B． C．8 D．4 (2)(2025·北京海淀三模)已知△ABC中，AB＝4，sin C＝，则·的取值范围是 (　　) A．[－20，4] B．[－10，2] C．[－2，10] D．[－4，20] (3)已知平面向量燮a，燮b满足|燮a|＝1，|2燮a－燮b|＝2，则(燮a＋燮b)·燮b的最大值为_____． [听课记录]　_____ _____ _____ _____ 【规律方法】　向量数量积最值(范围)问题的解题策略 (1)形化：利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征进行求解． (2)数化：利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集或方程有解等问题，然后利用函数、不等式或方程的有关知识来解决． 【跟踪训练1】 (1)(2025·甘肃酒泉模拟)已知△ABC是边长为1的等边三角形，D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE＝EF，则·的值为 (　　) A． B． C．－ D． (2)太极图被称为“中华第一图”，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而又被称为“阴阳鱼太极图”．如图所示的图形是由半径为2的大圆O和两个对称的半圆弧组成的，线段MN过点O且两端点M，N分别在两个半圆弧上，P是大圆上一动点，则·的最小值为_____． 求向量模、夹角的最值(范围) 【例2】　(1)(2025·湖南岳阳三模)已知不共线的向量燮a，燮b，燮c满足|燮a|＝1，燮a·燮b＝2，|燮a－燮c|＝|2燮a＋燮c|，则|燮b－燮c|的最小值为 (　　) A． B．2 C． D． (2)在平行四边形ABCD中，＋＝，λ∈[，3]，则cos∠BAD的取值范围是 (　　) A． B． C． D． [听课记录]　_____ _____ _____ _____ _____ 【规律方法】 (1)求向量模的取值范围或最值的常见方法：通过|燮a|2＝燮a2转化为实数问题；数形结合；坐标法． (2)求向量夹角的取值范围、最值，往往要将夹角与其某个三角函数值用某个变量表示，转化为求函数的值域最值，要注意变量之间的关系． 【跟踪训练2】 (1)已知燮e为单位向量，向量燮a满足(燮a－燮e)·(燮a－5燮e)＝0，则|燮a＋燮e|的最大值为 (　　) A．4 B．5 C．6 D．7 (2)若平面向量燮a，燮b，燮c满足|燮c|＝2，燮a·燮c＝2，燮b·燮c＝6，燮a·燮b＝2，则燮a，燮b夹角的取值范围是_____． 求参数的最值(范围) 【例3】　(1)在△ABC中，＝，P是线段AD上的动点(与端点不重合)，设＝x＋y，则的最小值是_____． (2)设点A(－2，0)，B，C(0，1)，若动点P满足||＝2||，且＝λ＋μ，则λ＋2μ的最大值为_____． [听课记录]　_____ _____ _____ _____ _____ _____ 【规律方法】　利用共线向量定理及其推论求参数 (1)燮a∥燮b 燮a＝λ燮b(燮b≠0)． (2)＝λ＋μ(λ，μ为实数)，则A，B，C三点共线 λ＋μ＝1． 【跟踪训练3】 (1)如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，延长CD至点E，使得DE＝2CD．动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到点A，＝λ＋μ，则λ＋μ的取值范围为_____． (2)如图，点C在半径为1，圆心角为的扇形OAB的上运动．已知＝x＋y，则当∠AOC＝时，x＋y＝_____；x＋y的最大值为_____． 1/1微专题10　平面向量数量积及最值与范围问题 向量数量积及最值(范围) 【例1】　(1)(2025·广东佛山三模)如图，在矩形ABCD中，AB＝2AD＝4，以A为圆心的圆与BD相切于点P，则·＝(　　) A．　 B．　 C．8　 D．4 (2)(2025·北京海淀三模)已知△ABC中，AB＝4，sin C＝，则·的取值范围是(　　) A．[－20，4]　 B．[－10，2] C．[－2，10]　 D．[－4，20] (3)已知平面向量a，b满足|a|＝1，|2a－b|＝2，则(a＋b)·b的最大值为_____． (1)A　(2)D　(3)20　[(1)由已 ... ...