二项式定理的展与合问题 （解析版） 二项式定理是初中数学多项式乘法的拓展延伸，是排列组合的直接应用，还与概率中的二项分布有着密切关系，它是高考热点———随机变量及其分布的基础. 二项式定理揭示了项、项数、系数、指数之间的联系和规律. 一般考查二项展开式的通项公式、二项式系数、展开式系数、某项或者项数等，整体难度不大. 考点一 二项式展开式的通项 角度1二项展开式中特定项的问题 例1的展开式中的系数为____（用数学作答）. 分析 本题可以先把化为，再用二项展开式的通项公式求解. 解 因为，所以的展开式中含的项为，故的展开式中的系数为. 思维升华 1. 通项（，）中含有，，，，五个量，只要知道其中四个，便可求出第五个，即“知四求一”. 2. 求二项展开式的特定项或某项的系数，其实质是考查通项，一般通过建立方程来确定指数（求解时要注意二项式系数中和的隐含条件，即，均为非负整数，且，如常数项指数为零，有理项指数为整数等），再将所求得的指数代回通项求解. 角度2几个二项式积的展开式问题 例2 的展开式中的系数为____. 直接展开相乘或先展开一个式子再相乘显然不是好办法．我们可以从每个二项展开式的通项入手，的展开式的通项为，要求展开式中的系数，可以寻找，所满足的条件，确定，的值． 由乘法分配律，可知项的系数分别来自两个二项展开式中相应的两项乘积的系数，如下表所示： 项的系数 常数项 项的系数 项的系数 项的系数 项的系数 所以项的系数为． 对于几个二项式积的展开式中特定项的问题，一般可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意准确地运用分类方法，避免重复或遗漏．当然，本题也可利用排列组合的知识求解． 角度3 三项展开式问题 例3的展开式中，的系数为（ ） A.10 B.20 C.30 D.60 本题可以先将三项和转化为二项和，即，然后再用二项式展开求解；也可以将看成5个相乘，用组合知识（二项式定理的原理）求解． 方法1：，含的项为，其中含的项为，所以的系数为．故选C． 方法2：因为表示5个相乘，所以可从5个因式中2个因式取，剩余的3个因式中2个因式取，1个取，因此的系数为．故选C． 思维升华 三项或三项以上的式子的展开问题，可以根据式子的特点，转化为二项式来解决，转化的方法通常为配方、因式分解、项与项结合，其中，项与项结合时，要注意合理性和简捷性．也可以运用组合数知识，把看成n个的积，利用组合数知识分析项的构成． 考点二 二项式定理的性质 角度1二项式系数和与各项系数和问题 例4 已知多项式，则，． 分析 第一空利用二项式定理直接求解即可；第二空采用赋值法，令求出，再令即可得出答案． 含的项为，故． 令，即；令，即．所以． 思维升华 1.二项展开式中二项式系数与项的系数是两个不同的概念，各二项式系数的和为，各项系数之和常用“赋值法”来求解． 2.在二项展开式中应用“赋值法”的一般步骤： （1）观察：先观察二项展开式左右两边式子的结构特征； （2）赋值：结合待求问题和上述特征，对变量赋值，常见的赋值有，，等，具体视情况而定； （3）解方程：赋值后结合待求问题建立方程（组）求解便可． 角度2二项式系数与项的系数最值问题 例5分别求的展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项． 分析 展开式中二项式系数最大的项是哪一项；由中决定，注意要区分是奇 数还是偶数；系数最大的项一般通过不等式组来求解． 展开式中二项式系数的最大值为和，所以二项式系数最大的项为和． 设展开式中第项的系数最大，因为， 所以解得．又且，所以， 所以展开式中系数最大的项为． 思维升华 求解二项展开式中系数的最值策略． （1）二项式系数的最大值，依据中的奇偶及二项式系数的性质求解．若为偶数，则展开式中间一项为第项，其二项式系 ... ...
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