三种化归策略解导数问题 （解析版） 化归，就是把待解决或难解决的问题，通过某种手段或方法，将之归结为一类已经解决或者比较容易解决的问题，最终求得原问题的解答．常见的化归策略有：化陌生为熟悉，化繁为简，正难则反等． 1. 化陌生为熟悉 例1 已知函数． （1）若函数，求函数的单调区间； （2）若直线为曲线在点处的切线，直线与曲线相交于点，且，求实数的取值范围． 思路分析 第（1）问比较简单，直接求导，利用函数单调性和导数的关系可写出单调区间．不少同学对第（2）问的已知条件可能感到陌生，难以形成解题思路．此时可考虑化归的思想方法，将切线与曲线相交的取值范围问题转化成熟悉的方程问题． 由于交点的横坐标是方程的解，故就等价于方程的根的分布问题． 简解 （1）由题知，，分析可得的增区间为和，减区间为． （2），． 直线与曲线两者图象相交于点且， 化归为关于的方程在上有解． 令，，，． 再令，． ①当时，在上递减，在上递增，所以． 又，所以存在唯一，有． 此时在上递增，在上递减，所以． 又，所以存在唯一，有，所以符合． ②当时，在上递减，所以，在上递增， 所以，即在上无零点，舍去． 综上，的取值范围为． 2. 化繁为简 例2 若不等式对恒成立，其中为自然对数的底数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 思路分析 解决“恒成立”问题，要么分离参数，要么转化为函数最值问题．本题中，分离参数后的函数比较复杂，暂时放弃．考虑移项后构造函数，新函数需要通过多次求导并结合端点效应才能确定其单调性，难度还是不小．此时不妨想想指对同构，将不等式中的函数进行变形，转化为研究同构函数的单调性，此同构函数解析式简单，研究单调性较易．这样的化归体现了化繁为简的原则，值得大家仔细琢磨． 解答 原不等式可化为． 令，，， ，， ，， ①当，即时，，则在单调递增，，所以在单调递增. 因此时，，满足条件. ②当时，，且易知趋近于时，趋近于， 所以在有解，设为. 当时，，在上单调递减，，所以在上单调递减，因此，矛盾. 综上：. 故选B. 指对同构法解析 原不等式变形为， 即. 构造同构函数，则有. 易证，所以在上是单调递增函数， 故，解得. 3. 正难则反 例3已知函数在区间上不单调，则实数的取值范围为_____. 思路分析 已知条件中出现了“不”这个否定性词汇，使得满足条件的情况多样. 可以考虑问题的反面：“函数在区间上单调”，转化为研究导数的 符号问题. 这种化归是正难则反的策略，在遇到含否定性词汇的问题时可以考虑使用. （i） 若函数在区间上单调递增，则在上恒成立，所以，得 令，设，，显然函数在区间上单调递减，所以，即 由①可知， （ii） 若函数在区间上单调递减，则在上恒成立，所以，得 结合 （i） 可知，. 综上，若函数在区间上单调，则实数的取值范围为 所以若函数在区间上不单调，则实数的取值范围为 高中数学的知识内容丰富且深刻，要学好绝非易事，复习时体会并学会应用隐藏在其中的数学思想方法是必经之路. 化归思想在解其他知识相关问题中也有着广泛的应用，同学们不妨试试找一找，练一练，相信勤加练习之后必定会深刻理解这一思想的奥妙，有助于提升解题能力.三种化归策略解导数问题 （原卷版） 化归，就是把待解决或难解决的问题，通过某种手段或方法，将之归结为一类已经解决或者比较容易解决的问题，最终求得原问题的解答．常见的化归策略有：化陌生为熟悉，化繁为简，正难则反等． 1. 化陌生为熟悉 例1 已知函数． （1）若函数，求函数的单调区间； （2）若直线为曲线在点处的切线，直线与曲线相交于点，且，求实数的取值范围． 2. 化繁为简 例2 若不等式对恒成立，其中为自然对数的底数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 正难则反 例3已 ... ...
~~ 您好，已阅读到文档的结尾了 ~~
