利用极坐标解圆锥曲线问题 （解析版） 圆锥曲线是新高考的考查重难点，但复杂的计算过程使其成为学生学习中的一大痛点。研究发现，在解决圆锥曲线中涉及长度、角度的问题时，引入极坐标往往能让解题过程更简洁高效。在部分圆锥曲线问题中，若能充分发挥极坐标与参数方程的工具作用，常可达到“四两拨千斤”的解题效果。 1.涉及线段过原点，通过直极互化利用极径几何意义解题 例1. 已知椭圆的中心为，长、短轴的长分别为，，，分别为椭圆上的两点，且。 求证：为定值； 求面积的最大值和最小值。 解.（1） 以椭圆中心为直角坐标原点，长轴所在的直线为轴建立直角坐标系，见图1。设椭圆的直角坐标方程为，将椭圆的直角坐标方程化为极坐标方程得，即， ∵ ，∴ 设，（），则，， ， 为定值. （2）由题可知： 当且仅当 ，即 或 或 或 时， 有最小值 ；当 ，即 或 或 或 时， 有最大值 . 本题用直角坐标系传统方法求解，会涉及四个变量，运算量比较大（本文略）. 但以直角坐标系的原点为极点， 轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，就可以进行直、极互化，利用极径的几何意义解题. 本题涉及到的相关线段过坐标原点，故只需将直角坐标化为极坐标即可得证. 2.涉及线段过焦点，利用圆锥曲线极坐标统一式解题 例2. 已知点 为抛物线 的焦点，过点 作两条互相垂直的直线 ，，直线 与 交于 ， 两点，直线 与 交于 ， 两点，则 的最小值为（ ） A.16 B.14 C.12 D.10 这是一道用极坐标解题的经典例子，本文介绍四种解法：从直角坐标常规方法，到直角坐标参数方程法，再到圆锥曲线极坐标统一式，以及利用极坐标定义本质求解法，经历了 “小题大做” 到 “小题小做” 的过程. 探究一 ：利用垂直关系构造两条直线的点斜式方程，直曲联立利用弦长公式求得弦长，再利用基本不等式求得最小值. 解. 如图2所示，易知直线 ， 斜率存在，设直线 的斜率为 ，则直线 的斜率为 ，又抛物线焦点为 ，故直线 的方程为 ，直曲联立 可得：， ， ， ，用 去替换式子中的 ，可得 ， ，当且仅当 ，即 时等号成立，则 的最小值为16. 探究二： 利用直线参数方程 的意义解题 解. 如图2所示，设直线 的倾斜角为 ，因为焦点为 ，所以直线 的参数方程为 （ 为参数），将 的参数方程代入 ，可得 ， ， ， 相互垂直， 直线 的倾斜角为 ， ， ， 当 时， 取得最小值16. 探究三 ：由圆锥曲线极坐标统一方程求解. 圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）可统一定义为：与一个定点（焦点 ）和一条定直线（准线 ）的距离之比为常数 的点的轨迹. 建立以焦点 为极点， 轴正向为极轴的极坐标系，其统一方程为：（其中 为焦距距）. 在这个统一方程中，定点在定直线的右边，故取椭圆左焦点为极点，双曲线右焦点为极点，抛物线开口向右，当 时表示椭圆，当 时表示抛物线，当 时表示双曲线. 以抛物线的焦点为极点建立极坐标系，如图3所示. 解.设抛物线的极坐标方程为，设点，则，，，代入极坐标方程，得，，，， ，； ，当时，取得最小值16. 探究四 将抛物线进行平移，以焦点为坐标原点和极点后进行直、极互化，利用极径的几何意义求解. 解.为抛物线的焦点，将抛物线向左平移1个单位得，直、极互化得，易知，，设，，， ，同理. ，当时，取得最小值16. 对比上述方法不难发现，极坐标在解决长度类问题时，能显著简化解题过程. 在探究三中，利用圆锥曲线的极坐标统一式求解过焦点的弦长问题，效率极高，该结论也已得到广泛应用；但它存在明显短板———当直线不过焦点时，此结论便不再适用. 在当前数学命题设计中，出题者常将“一般规律”弱化为“特殊情况”来设计考题，并以此为载体考查解题者的数学素养. 学生在解决此类问题时，往往倾向于套用结论，却不理解结论背后的问 ... ...
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