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课件网) 5.2.2 同角三角函数的基本关系 1.理解并掌握同角三角函数的基本关系.2.会用同角三角函数的基本关系进行三角函数式的求值、化简和证明. 【课程标准要求】 必备知识·归纳落实 知识归纳 知识点 同角三角函数的基本关系 平方关系:sin2α+cos2α= ; 这就是说,同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1,商等于角α的正切. 1 tan α ·疑难解惑· (2)sin2α是(sin α)2的缩写,不能写成sin α2. 基础自测 D A A 4.化简sin2α+cos4α+sin2αcos2α= . 1 【解析】 原式=sin2α+cos2α(cos2α+sin2α)=sin2α+cos2α=1. 关键能力·素养培优 题型一 利用同角三角函数的基本关系求值 [例1] 根据下列条件,求三角函数值: [典例迁移1] 已知角α终边上有一点P(-1,2),求下列各式的值. (1)tan α; ·解题策略· (1)已知一个三角函数值可以求出另外两个,即“知一求二”. ①若角α所在的象限已经确定,求另外两个三角函数值时,只有一组结果;若角α所在的象限不确定,应分类讨论,一般有两组结果. ②注意记住常见的“勾股数”,如6,8,10;5,12,13;8,15,17等,可以方便解题. ·解题策略· 题型二 sin θ±cos θ型求值问题 (1)sin θcos θ; (2)sin θ-cos θ; (3)sin θ和cos θ和tan θ. ·解题策略· 已知sin θ±cos θ,sin θcos θ型求值问题,一般利用三角恒等式,采用整体代入的方法求解. (1)(sin θ+cos θ)2=1+2sin θcos θ. (2)(sin θ-cos θ)2=1-2sin θcos θ. (3)(sin θ-cos θ)2=(sin θ+cos θ)2-4sin θcos θ. (4)(sin θ+cos θ)2+(sin θ-cos θ)2=2. 上述三角恒等式告诉我们,若已知sin θ+cos θ,sin θ-cos θ,sin θcos θ中的任何一个,则另两个式子的值均可求出. -2 题型三 利用同角三角函数的基本关系化简和证明 ·解题策略· (1)三角函数式的化简技巧. ①化切为弦,即把正切都化为正弦、余弦,从而减少函数名称,达到化简的目的; ②对于含有根号的,常把根号里面的部分化成完全平方式,然后去根号达到化简的目的; ③对于含高次幂的三角函数式,往往借助于因式分解,或构造sin2α+cos2α=1,以降低函数次数,达到化简的目的. ·解题策略· (2)证明三角恒等式的常用方法. ①从左向右推导或从右向左推导; ②左右归一法,即证明左右两边都等于同一个式子; ③化异为同法,即针对题设与结论间的差异,有针对地变形,以消除差异; 感谢观看5.2.2 同角三角函数的基本关系 【课程标准要求】 1.理解并掌握同角三角函数的基本关系.2.会用同角三角函数的基本关系进行三角函数式的求值、化简和证明. 知识归纳 知识点 同角三角函数的基本关系 平方关系:sin2α+cos2α=1; 商数关系:=tan α.(α≠kπ+,k∈Z ) 这就是说,同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1,商等于角α的正切. (1)sin2α+cos2α=1对一切α∈R恒成立,而tan α=仅对α∈{α+kπ(k∈Z)}成立. (2)sin2α是(sin α)2的缩写,不能写成sin α2. 基础自测 1.(人教A版必修第一册P184练习T1改编)已知α是第四象限角,若cos α=,则tan α等于( ) [A] [B]- [C]2 [D]-2 【答案】 D 【解析】 因为cos α=,sin2α+cos2α=1,所以sin2α=,因为α是第四象限角,所以 sin α<0,则sin α=-,所以tan α==-2.故选D. 2.已知tan α=3,则的值为( ) [A]- [B] [C]-2 [D]2 【答案】 A 【解析】 由tan α==3可得cos α≠0,分式的分子和分母同时除以cos α可得,===-.故选A. 3.已知=,则等于( ) [A] [B]- [C] [D]- 【答案】 A 【解析】 从=可得,cos x≠0,所以sin x≠±1,而====.故选A. 4.化简sin2α+cos4α+sin2αcos2α= . 【答案】 1 【解析】 原式=sin2α+cos2α(cos2α+sin2α)=sin2α+cos2α=1. 题型一 利用同角三角函数的基 ... ...
