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课件网) 5.5 三角恒等变换 5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 第 1课时 两角差的余弦公式 1.熟悉两角差的余弦公式的推导过程.2.掌握两角差的余弦公式的应用. 【课程标准要求】 必备知识·归纳落实 知识归纳 知识点 两角差的余弦公式 cos(α-β)= ,其中α,β∈R,简记作C(α-β). cos αcos β+sin αsin β ·疑难解惑· (1)该公式对任意角都能成立. (2)公式的结构:左端为两角差的余弦,右端为这两角的同名三角函数值积的和. (3)公式的逆用仍然成立,即cos αcos β+sin αsin β=cos(α-β). 1.cos 52°cos 22°+sin 52°sin 22°等于( ) 基础自测 B C 3.若sin αsin β=1,则cos(α-β)的值为( ) [A]0 [B]1 [C]±1 [D]-1 B 【解析】 因为sin αsin β=1,sin α∈[-1,1],sin β∈[-1,1],只能sin α,sin β同时取1,或同时取-1,所以cos α=cos β=0,得cos αcos β=0,所以cos(α-β)=cos αcos β+ sin αsin β=0+1=1.故选B. 4.已知cos(α-β)cos α+sin(α-β)sin α=m,且β为第三象限角,则sin β= . 关键能力·素养培优 题型一 给角求值 [例1] 求下列各式的值: ·解题策略· (1)求非特殊角的三角函数值时,通常把非特殊角转化为两个特殊角的和或差,然后利用公式求解. (2)不符合两角差结构的三角式可以通过诱导公式变为符合公式结构的形式达到化简求值的目的. (3)有些含有常数的式子,先将系数转化为特殊角的三角函数值,再利用公式求解,含有特殊角的三角式也可以考虑直接展开化简. [变式训练] 求下列各式的值: (2)cos 75°cos 15°-sin 75°sin 195°. 题型二 给值求值 ·解题策略· (1)直接使用公式求值时,应该充分利用已知角的三角函数值,求所需要的三角函数值,注意利用角的范围确定三角函数值的符号. (2)已知某些角的三角函数值,求另外一些角的三角函数值时,要注意观察已知角与所求表达式中角的关系,即拆角与凑角. 题型三 给值求角 ·解题策略· 已知三角函数值求角的解题步骤 (1)界定角的范围,根据条件确定所求角的范围. (2)求所求角的某种三角函数值时,为防止增解最好选取在范围内单调的三角函数. (3)结合三角函数值及角的范围求角. 提醒:根据三角函数值求角时,易忽视角的范围,而得到错误答案. 感谢观看第2课时 两角和与差的正弦、余弦公式 【课程标准要求】 1.掌握由两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式以及两角和与差的正弦公式.2.会利用两角和与差的正弦、余弦公式进行简单的求值、化简、计算等.3.熟悉两角和与差的正弦、余弦公式的灵活运用,以及公式的正用、逆用和角的变换的常用方法. 知识归纳 知识点一 两角和的余弦公式 cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β,其中α,β∈R,简记作C(α+β). 知识点二 两角和与差的正弦公式 sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β,其中α,β∈R,简记作S(α+β); sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β,其中α,β∈R,简记作S(α-β). (1)注意公式的展开形式,两角和与差的余弦展开式可简记为“余余正正,符号相反”,两角和与差的正弦展开式可简记为“正余余正,符号相同”. (2)公式的逆用,一定要注意名称的顺序和角的顺序. (3)当α,β,α+β中至少有一个为2kπ(k∈Z)时,公式sin(α+β)=sin α+sin β成立. 基础自测 1.sin 40°cos 10°-sin 130°sin 10°等于( ) [A]- [B] [C]- [D] 【答案】 D 【解析】 sin 40°cos 10°-sin 130°sin 10°=sin 40°cos 10°-cos 40°sin 10°=sin 30°=.故选D. 2.(人教A版必修第一册P220练习T2改编)设α∈(0,),若sin α=,则cos(α-)等于( ) [A] [B] [C]- [D]- 【答案】 B 【解析】 因为α∈(0,),sin α=,所以cos α=, 所以原式=(cos αcos +sin αsi ... ...
