【课程标准要求】 1.通过构建三角函数模型,尝试解决物理中的简单问题.2.通过构建三角函数模型解决生活中一些简单的问题. 知识归纳 知识点 函数y=Asin(ωx+φ),A>0,ω>0中参数的物理意义 在物理学中,把物体受到的力(总是指向平衡位置)正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”.在适当的直角坐标系下,简谐运动可以用函数y=Asin(ωx+φ),x∈[0,+∞)表示,其中A>0,ω>0. 其中A就是这个简谐运动的振幅,它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离; 这个简谐运动的周期是T=,它是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间; 这个简谐运动的频率由公式f==给出,它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数; ωx+φ称为相位;x=0时的相位φ称为初相. 如果A<0或ω<0,应先利用诱导公式把函数进行标准化,把A和ω的符号化为正数以后再确定相位和初相.比如y=-sin(2x-),应先变成y=sin[π+(2x-)]=sin(2x+). 基础自测 1.若某振动物体的函数解析式是y=3sin(x-),则该振动物体的初相是( ) [A]x- [B] [C] [D]- 【答案】 D 【解析】 运动物体的相位是x-,初相是-.故选D. 2.已知电流I(单位:A)随时间t(单位:s)变化的关系是I=2sin 100πt,t∈[0,+∞),则电流I变化的频率是( ) [A] Hz [B]100 Hz [C] Hz [D]50 Hz 【答案】 D 【解析】 因为T==,所以f==50(Hz).故选D. 3.(人教A版必修第一册P248练习T1改编)下图是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图,由乙点开始经过周期后,与图中哪个点相同( ) [A]甲 [B]戊 [C]丙 [D]丁 【答案】 D 【解析】 因为最小值和最大值之间的横坐标相差周期,而乙在最低点,所以经过周期后,乙点与丁点相同.故选D. 4.若某路口每分钟的车流量满足函数F(t)=10sin(t-)+20,t∈[0,+∞),则车流量最大时,每分钟经过该路口的车辆数为 . 【答案】 30 【解析】 因为F(t)=10sin(t-)+20,所以F(t)max=10+20=30. 题型一 三角函数在物理中的应用 [例1] 如图,一台发电机产生的电流是正弦式电流,即电压U(单位:V)和时间t(单位:s)满足U=311sin(ωt+φ)(ω>0,|φ|<).在一个周期内,电压的绝对值超过的时间为 s. 【答案】 【解析】 由已知得T=0.02,所以ω==100π,φ=0,所以U=311sin 100πt.在区间[0,0.02]内,令311sin 100πt=,得100πt=或100πt=,可得t1=,t2==;同理令311sin 100πt=-,可得t3=,t4=. 综上,电压的绝对值超过的时间为2×(-)=(s). 处理物理学问题的策略 (1)常涉及的物理学问题有单摆、光波、电流、机械波等,其共同的特点是具有周期性. (2)明确物理概念的意义,此类问题往往涉及诸如频率、振幅等概念,因此要熟知其意义并与对应的三角函数知识结合解题. [变式训练] 如图,一根长l(单位:cm)的线,一端固定,另一端悬挂一个小钢球,当小钢球做单摆运动时,离开平衡位置的位移S(单位:cm)与时间t(单位:s)的函数关系可近似的表示为S=3cos(t+),t∈[0,+∞),其中g≈1 000 cm/s2,π≈3.14. (1)当t=0时,小钢球离开平衡位置的位移S是多少厘米 (2)要使小钢球摆动的周期是1 s,则线的长度l应该为多少厘米 (精确到0.1 cm) 【解】 (1)在函数S=3cos(t+),t∈[0,+∞)中,当t=0时,S=3cos =1.5,所以当t=0时,小钢球离开平衡位置的位移S=1.5 cm. (2)依题意,ω=,而周期T=,又T=1,则ω=2π,即=2π,解得l=≈≈25.4(cm),所以线的长度l应该为 25.4 cm. 题型二 三角函数在生活中的应用 [例2] 某地区的一种特产水果最早一批在每年十一月份上市,上市初期产量较低,因此价格居高且逐渐上涨,中期产量增大时价格逐渐下跌,后期又由于供应量不足价格上涨,其销售价格f(x)(单位:元/kg)随着月份x的变化满足函数f(x)=Asin(x-)+B(x∈[1,10],x∈N*,其中1表示十一月份,2表示十二月份,…),经调查统计,一月份该水果的平均销售价格为 10元/kg,五月份 ... ...
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