第五章 章末复习提升（课件+学案）（含答案）

章末复习提升 题型一　同角三角函数的基本关系式和诱导公式 1.(1)两个基本关系式:sin2α+cos2α=1及=tan α. (2)诱导公式:可概括为k·±α(k∈Z)的各三角函数值的化简公式.记忆规律是:奇变偶不变,符号看象限. 2.主要考查角度:(1)角的概念及其表示;(2)三角函数的定义及其应用;(3)扇形的弧长及面积公式;(4)同角三角函数的基本关系和三角函数的诱导公式. 3.掌握三角函数中公式的正用、逆用及变形用,重点提升逻辑推理和数学运算的核心素养. [典例1] (2023·全国甲卷)设甲:sin2α+sin2β=1,乙:sin α+cos β=0,则(　　) [A]甲是乙的充分条件但不是必要条件 [B]甲是乙的必要条件但不是充分条件 [C]甲是乙的充要条件 [D]甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 “sin α+cos β=0”;当sin α+cos β=0时,sin2α+sin2β=(-cos β)2+sin2β=1,即“sin α+cos β=0”能推出“sin2α+sin2β=1”.综上可知,甲是乙的必要不充分条件.故选B. [跟踪训练] (1)(2023·全国乙卷)若θ∈(0,),tan θ=,则sin θ-cos θ=　　　　. (2)若3sin α-sin β=,α+β=,则sin α=　　　　,cos 2β=　　　　. 且cos2θ+sin2θ=4sin2θ+sin2θ=5sin2θ=1,解得sin θ=或sin θ=-(舍去), 所以sin θ-cos θ=sin θ-2sin θ=-sin θ=-. (2)法一(利用辅助角公式和诱导公式)　因为α+β=,所以sin β=cos α,即3sin α-cos α=,即(sin α-cos α)=,令sin θ=,cos θ=,则sin(α-θ)=, 所以α-θ=+2kπ,k∈Z,即α=θ++2kπ,k∈Z,所以sin α=sin(θ++2kπ)=cos θ=, 则cos 2β=2cos2β-1=2sin2α-1=. 法二(直接用同角三角函数关系式解方程)　因为α+β=,所以sin β=cos α, 即3sin α-cos α=,又sin2α+cos2α=1,将cos α=3sin α-代入得10sin2α-6sin α+9=0,解得sin α=,则cos 2β=2cos2β-1=2sin2α-1=. 题型二　三角函数的图象与性质 1.三角函数的性质包括定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等,在研究三角函数的性质时,将ωx+φ看成一个整体,利用整体代换思想解题是常见的技巧. 2.函数y=Asin(ωx+φ)的图象. (1)“五点法”作图;(2)图象伸缩、平移变换. 3.掌握三角函数的图象和性质,重点培养直观想象和数学运算的核心素养. [典例2] (1)(2024·新课标Ⅰ卷)当x∈[0,2π]时,曲线y=sin x与y=2sin(3x-)的交点个数为(　　) [A]3 [B]4 [C]6 [D]8 (2)(多选)(2024·新课标Ⅱ卷)对于函数f(x)=sin 2x和g(x)=sin(2x-),下列说法中正确的有(　　) [A]f(x)与g(x)有相同的零点 [B]f(x)与g(x)有相同的最大值 [C]f(x)与g(x)有相同的最小正周期 [D]f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴 由图可知,两函数图象有6个交点.故选C. (2)A选项,令f(x)=sin 2x=0,解得x=,k∈Z,即为f(x)的零点,令g(x)=sin(2x-)=0,解得x=+,k∈Z,即为g(x)的零点,显然f(x),g(x)的零点不同,A选项错误;B选项,显然f(x)max=g(x)max=1,B选项正确;C选项,根据周期公式,f(x),g(x)的最小正周期均为=π,C选项正确;D选项,根据正弦函数的性质,f(x)的对称轴满足2x=kπ+,k∈Z x=+,k∈Z,g(x)的对称轴满足2x-=kπ+,k∈Z x=+,k∈Z,显然f(x),g(x)图象的对称轴不同,D选项错误.故选BC. [跟踪训练] (1)(2023·全国乙卷)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)在区间(,)单调递增,直线x=和x=为函数y=f(x)的图象的两条对称轴,则f(-)=(　　) [A]- [B]- [C] [D] (2)(2023·新课标Ⅱ卷)已知函数f(x)=sin(ωx+φ),如图,A,B是直线y=与曲线y=f(x)的两个交点,若|AB|=,则f(π)=　　　　. (2)设A(x1,),B(x2,),由|AB|=可得x2-x1=,令wx+φ=t,由sin t=可知,t=+2kπ,k∈Z或t=+2kπ,k∈Z,由题图可知,ωx2+φ-(ωx1+φ)=-=,即ω(x2-x1)=,所以ω=4. 因为f()=sin(+φ)=0,所以+φ=kπ,k∈Z,即φ=-+kπ,k∈Z. 所以f(x)=sin(4x-+kπ)=sin(4x-+kπ),k∈Z,所以f(x)=sin(4x-)或f(x)=-sin ... ...