第六章 圆 第22讲 与圆有关的概念及性质 知识点 对点训练 1.与圆有关的概念及其性质 (1)弧：圆上任意两点间的部分叫作弧，大于半圆的弧叫作 优弧 ，小于半圆的弧叫作 劣弧 . (2)弦：连接圆上任意两点的线段叫作弦，经过圆心的弦叫作 直径 . (3)圆心角：顶点在 圆心 的角叫作圆心角. (4)圆周角：顶点在 圆上 ，并且角的两边都与圆相交，这样的角叫作圆周角. (5)弧、弦、圆心角的关系 ①在同圆或等圆中，相等的 圆心角 所对的弧相等，所对的弦相等. ②在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条 弧 、两条 弦 中有一组量相等，那么它们所对的其余各组量都分别相等. 1.(1)如图，若点O为☉O的圆心，则线段 OA，OB，OC 是☉O的半径；线段 AC，AB，BC 是☉O的弦，其中最长的弦是 AC ； 是劣弧. (2)如图，AB为半圆O的直径，点C，D为的三等分点，若∠COD＝50°，则∠BOE的度数是(B) A.25° B.30° C.50° D.60° 2.圆周角定理及其推论(5年3考) 定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的 圆心 角的一半. 推论1：同弧或等弧所对的圆周角 相等 . 推论2：直径所对的 圆周角 是直角， 90° 的圆周角所对的弦是直径. 推论3：圆内接四边形定理： 圆内接四边形的对角互补 . 2.(1)(2025·青海)如图，AB是☉O的直径，∠CAB＝40°，则∠ADC的度数是(B) A.80° B.50° C.40° D.25° (2)(2025·长沙)如图，AC，BC为☉O的弦，连接OA，OB，OC.若∠AOB＝40°，∠OCA＝30°，则∠BCO的度数为(C) A.40° B.45° C.50° D.55° 3.垂径定理 (1)垂直于弦的 直径 平分弦，并且平分弦所对的两条 弧 . (2)垂径定理的推论： ①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且 平分 弦所对的两条弧； ②弦的垂直平分线经过圆心，并且 平分 弦所对的两条弧； ③平分弦所对的一条弧的直径 垂直平分 弦，并且 平分 弦所对的另一条弧. 3.(1)(2024·长沙)如图，在☉O中，弦AB的长为8，圆心O到AB的距离OE＝4，则☉O的半径长为(B) A.4 B.4 (2)(2024·赤峰)如图，AD是☉O的直径，AB是☉O的弦，半径OC⊥AB，连接CD，交OB于点E，∠BOC＝42°，则∠OED的度数是(B) A.61° B.63° C.65° D.67° 典型例题 变式训练 考查点 圆周角定理及其推论 1.(2025·常州)如图，AB是☉O的直径，CD是☉O的弦.若∠DCB＝45°，AD＝1，则AB＝ . 1.(2024·牡丹江)如图，四边形ABCD是☉O的内接四边形，AB是☉O的直径，若∠BEC＝20°，则∠ADC的度数为(B) A.100° B.110° C.120° D.130° 2.(2024·眉山)如图，△ABC内接于☉O，点O在AB上，AD平分∠BAC交☉O于点D，连接BD.若AB＝10，BD＝2，则BC的长为 8 . 2.(2025·广西)如图，已知AB是☉O的直径，点C，D在☉O上，∠ABC＝65°，. (1)求证：△BOC≌△DOC； (2)求∠ABD的度数. (1)证明：∵， ∴∠BOC＝∠DOC. 又OC＝OC，OB＝OD， ∴△BOC≌△DOC(SAS). (2)解：∵OC＝OB， ∴∠OCB＝∠OBC＝65°. ∴∠BOC＝180°－∠OBC－∠OCB＝50°. ∴∠DOC＝∠BOC＝50°. ∴∠AOD＝180°－∠DOC－∠BOC＝80°. ∴∠ABD＝∠AOD＝40°. 有关圆周角定理及其推论的常见辅助线作法 1.构造同弧或等弧所对的圆周角或圆心角； 2.连接半径构造等腰三角形或等边三角形； 3.当题目中有直径时，构造直径所对的圆周角； 4.在圆中求锐角的三角函数值时，通常利用圆周角定理，将所求角转化为直角三角形中的角或圆心角. 答题规范 示例：(RJ九上P87例4) (9分)如图，☉O的直径AB为10 cm，弦AC为6 cm，∠ACB的平分线交☉O于点D，求BC，AD，BD的长. 解：如图，连接OD. 1分 ∵AB是直径， ∴∠ACB＝∠ADB＝90°. 2分 在Rt△ABC中， BC＝＝8(cm). 4分 ∵CD平分∠ACB， ∴∠ACD＝∠BCD. ∴∠AOD＝∠BOD. 6分 ∴AD＝BD. 7分 又在Rt△ABD中，AD ... ...
~~ 您好，已阅读到文档的结尾了 ~~
