2026年印度国家数学奥林匹克竞赛试题(图片版,无答案)

2026年印度数学奥林匹克 1.正整数列x1,x2,x3,·定义如下：x1=1,且对 任意正整数n,有xn+1=xn+L√cn」.求所有正整 数m,使得存在某个正整数n,满足xm=m2. 2.设函数∫：N+N+满足：对于任意正整数 k>2026,f(k)表示数列f(1),f(2),·,(k-1)中 某数出现次数的最大值，证明：存在无穷多个正整数 n,使得f(n)=f(n+f(n). 3.设△ABC是一个不等边的锐角三角形，其外接 圆为T.设M为BC的中点，N为T上BC所对 劣弧的中点.点P,Q分别位于线段AB,AC上，满 足BP=BN且CQ=CN.点K(KN)位于直线 AN上，且满足MK=MN.证明：∠PKQ=90°. 4.若对于任意素数p,p要么同时整除整数a和b, 要么同时不整除a和b,则称整数a和b为相伴数. 求所有函数f:N→N,满足以下条件： (1)(0)=0; (2)对任意m,n∈N,f(m)+n与f(n)+m均为 相伴数. 1 5.平面上的三条直线1,2,3构成一个锐角三角形 T.点P位于T的内部.对每个i∈{1,2,3}，定义 T关于直线：的对称变换.对(1,2,3)的每个排列 (i,j,),记点Tk(T(T(P)为Pk· 证明：点P23,P132,P213,P231,P312,P321共圆的充要 条件是点P为三角形T的垂心 6.正午时分，桌上放着两副牌A和B,每副各有 40张.此后每分钟，我们取出牌A的顶牌α和牌3 的顶牌b,进行一场对决. 对于任意两张牌a∈A和b∈B,每次a与b对决 的结果都固定不变，且与其他所有对决的结果相互独 立.一场对决有三种可能的结果： (1)若其中一张牌获胜，则获胜的牌放回其牌堆的 顶部，落败的牌放到其牌堆的底部； (2)若α与b势均力敌，则两者都从各自的牌堆中 移除； (3)若α与b互不影响，则两者都放到各自牌堆的 底部. 当两副牌都被清空时，这个过程结束；若某个过程能 够结束，则称其为一局游戏.证明：一局游戏最长可 持续356小时. 2