3 数列中的重构问题 基础打底 1．(2025·滁州一模)已知数列{an}的第1项和第2项均为1，以后各项由an＋2=an＋1＋an(n∈N*)给出．若数列{an}的各项除以3所得余数组成一个新数列{bn}，则b2 024＋b2 025=( A ) A．1 B．2 C．3 D．4 【解析】 因为an＋2=an＋an＋1(n∈N*)，a1=a2=1，所以数列{an}为1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，…，此数列各项除以3的余数依次构成的数列{bn}为1，1，2，0，2，2，1，0，1，1，2，0，2，2，1，0，…，是以8为周期的周期数列，所以b2 024＋b2 025=0＋1=1． 2．(人A选必二P16例4改)已知等差数列{an}的首项a1=2，公差d=8，在{an}中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{bn}，则bn=__2n__． 【解析】 设数列{bn}的公差为d′．由题意可知，b1=a1，b5=a2，于是b5－b1=a2－a1=8．因为b5－b1=4d′，所以4d′=8，所以d′=2，所以bn=2＋(n－1)×2=2n，所以数列{bn}的通项公式是bn=2n． 3．(人A选必二P25习题8改)已知两个等差数列2，6，10，…，190及2，8，14，…，200，将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的各项之和是__1 472__． 【解析】 由题得这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成的新数列为2，14，26，38，50，…，182，共有＋1=16(项)，也是等差数列，它们的和为×16=1 472． 4．已知数列{an}的通项公式是an=2n－1，记bm为{an}在区间(0，2am］(m∈N*)中的项的个数，则数列{bn}的通项公式是__bn=4n－1__． 【解析】 由题意知bm为{an}在区间(0，22m－1］中项的个数，令0＜2n－1≤22m－1，所以＜n≤=22m－2＋，n∈N*，所以1≤n≤22m－2，所以bm=22m－2，所以bn=22n－2=4n－1． 强技提能 公共项问题 例1 (多选)已知n，m∈N*，将数列{4n＋1}与数列{5m}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则( BC ) A．an=5n B．an=5n C．{an}的前n项和为 D．{an}的前n项和为 【解析】 令4n＋1=5m(n，m∈N*)，所以n===∈N*(m=2，3，…)，当m=1时，n=1，所以数列{5m}为数列{4n＋1}的子数列，所以an=5n(n=1，2，3，…)，所以{an}的前n项和为=，故B，C正确，A，D错误． 解决两个数列的公共项问题的两种方法 (1) 不定方程法：列出两个项相等的不定方程，利用数论中的整除知识，求出符合条件的项，并解出相应的通项公式； (2) 周期法：即寻找下一项，通过观察找到首项后，从首项开始向后，逐项判断变化较大(如公差的绝对值大)的数列中的项是否为另一个数列中的项，并找到规律(周期)，分析相邻两项之间的关系，从而得到通项公式． 变式1 将数列{5n－4}与数列{n2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则使得an＞2 026成立的n的最小值为__19__． 【解析】 令数列{5n－4}的第k项与数列{n2}的第m项为公共项，即5k－4=m2，k，m∈N*，于是k==＋1，则m＋1=5i或m－1=5(i－1)，i∈N*，即有k=i(5i－2)＋1或k=(i－1)·［5(i－1)＋2］＋1，i∈N*，因此5k－4=5i(5i－2)＋1=(5i－1)2或5k－4=5(i－1)［5(i－1)＋2］＋1=(5i－4)2，i∈N*，从而数列{an}是数列{(5n－4)2}和{(5n－1)2}的项从小到大排列得到的．显然数列{(5n－4)2}，{(5n－1)2}都是递增的，而当n=9时，(5n－4)2=412=1 681＜2 026，(5n－1)2=442=1 936＜2 026，当n=10时，(5n－1)2=492=2 401＞2 026，(5n－4)2=462=2 116＞2 026，显然462＜492，即数列{an}前18项均小于2 026，第19项为2 116，是第一个大于2 026的项，所以使得an＞2 026成立的n的最小值为19． 插项与减项问题 例2 (2025·聊城期末)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，an＋1=2Sn＋3． (1) 求数列{an}的通项公式； 【解答】 由an＋1=2Sn＋3，得an=2Sn－1＋3(n≥2)，两式相减得an＋1－an=2an(n≥2)，即an＋1=3an(n≥2) ... ...
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