高考数学二轮复习专题2三角函数与解三角形3三角形中的“分边”与“分角”模型研究课件+练习+答案

3　三角形中的“分边”与“分角”模型研究 基础打底 1．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为，且b=1，C=，则AB边上的中线长为(　D　) A．7　 B．3 C．　 D． 【解析】 S△ABC=absin C=a×1×sin =a=，解得a=3．设AB的中点为D，则=＋)，则2=＋)2=2＋2＋2)=×=，则||=，故AB边上的中线长为． 2．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=1，且C=csin A．若b=3，D是AB上的点，CD平分∠ACB，则△ACD的面积为(　B　) A．　 B． C．　 D． 【解析】 由正弦定理可知=，即asin C=csin A，故C=csin A=asin C=sin C，故tan C=，而C∈(0，π)，故C=．因为D是AB上的点，CD平分∠ACB，则由角平分线定理可知===3，故AD=AB，即S△ACD=S△ABC=×absin C=××1×3×sin =． 3．(2025·安阳二模)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若∠BAC的平分线AE交BC于点E，且AE=，c=1，b=2，则a=____． 【解析】 由等面积法，可得bcsin∠BAC=b·AE·sin ＋c·AE·sin ，即×2×1×sin∠BAC=×2××sin ＋×1××sin ，化简得=，又0＜∠BAC＜π，所以∠BAC=．由余弦定理可得a2=b2＋c2－2bccos∠BAC=22＋12－2×2×1×=7，所以a=． 4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知(a＋c)(a－c)=b(b＋c)，则角A的大小为____；若b=3，c=4，AD是△ABC的高，则线段AD的长为____． 【解析】 由(a＋c)(a－c)=b(b＋c)，可得b2＋c2－a2=－bc，由余弦定理可得cos A==－．因为0＜A＜π，所以A=．由余弦定理得a2=b2＋c2－2bccos A=9＋16＋12=37，所以a=．根据等面积法得S=bcsin A=a·AD，则AD===． 强技提能 角平分线 例1　(2025·宣城期末)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知=． (1) 求角A的大小； 【解答】 由已知及正弦定理得=，即b2＋c2－a2=bc，由余弦定理得cos A==，又因为0＜A＜π，所以A=． (2) 若a=3，D是BC上的点，AD平分∠BAC，求AD长的最大值． 【解答】 由(1)可知b2＋c2－18=bc，则(b＋c)2=3bc＋18 ①，由基本不等式有bc≤2，可得b＋c≤6，又b＋c＞a=3，则3＜b＋c≤6．因为S△ABC=S△ABD＋S△ACD，所以bc·sin =c·ADsin ＋b·ADsin ，可得AD=，由①有AD===，令t=b＋c，则AD=在上单调递增，所以AD的最大值为． 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，角A，B，C所对的边分别为a，b，c． (1) 角度的倍数关系：∠BAC=2∠BAD=2∠CAD． (2) 内角平分线定理：=． (3) 等面积法：由S△ABD＋S△ACD=S△ABC，得AD=(角平分线长公式)． 变式1－1　(2023·全国甲卷)在△ABC中，∠BAC=60°，AB=2，BC=，D为BC上一点，AD为∠BAC的平分线，则AD=__2__． 【解析】 方法一：如图，因为在△ABC中，AB=2，∠BAC=60°，BC=，所以由正弦定理可得=，所以sin∠ACB===，又∠BAC=60°，所以∠ACB=45°，所以∠ABC=180°－45°－60°=75°，又AD为∠BAC的平分线，且∠BAC=60°，所以∠BAD=30°，又∠ABC=75°，所以∠ADB=75°，所以AD=AB=2． 方法二：在△ABC中，由余弦定理得BC2=AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC，即6=4＋AC2－2AC，解得AC=＋1(负值舍去)，则AD====2． 变式1－2　(2025·赣州二模)在△ABC中，cos A=，tan(A－B)=． (1) 求角B的大小； 【解答】 由cos A=，且0＜A＜π，得sin A==，故tan A==，tan B=tan［A－(A－B)］===1，又因为0＜B＜π，所以B=． (2) 若∠BAC的平分线AD交BC于点D，△ABC的面积为15，求AD的长． 【解答】 设∠BAC=2θ，∠ADC=α，如图．由cos∠BAC=cos 2θ=1－2sin 2θ=，且0＜θ＜，可得sinθ=，cosθ==．sin C=sin(∠BAC＋∠B) =sin∠BAC·cos∠B＋cos∠BACsin∠B=×＋×=，且sin α=sin(θ＋B) =sinθcos B＋cosθsin B=×＋×=．在△ABD中，=，则BD==AD．在△ACD中，=，则CD==AD，所以BC=BD＋CD=AD ... ...