黑龙江省哈尔滨市四校2026届高三上学期期中联考数学试卷（含答案）

哈尔滨市四校2026届高三上学期期中联考 数学试卷 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1．的虚部为( ) A. B. C. D. 2．根据分类变量x与y的观测数据,计算得到.依据的独立性检验,结论为( ). A.变量x与y不独立 B.变量x与y不独立,这个结论犯错误的概率不超过 C.变量x与y独立 D.变量x与y独立,这个结论犯错误的概率不超过 3．已知向量,,若,则的值为( ) A. B. C. D. 4．已知,且,则“”是“函数在R上单调递增”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5．已知非零向量满足,,则( ) A. B.20 C. D. 6．已知函数，则不等式的解集为( ) A. B. C. D. 7．设椭圆的左、右焦点分别为,上顶点为A,直线交M于另一点B,的内切圆与相切于点C,若,则椭圆M的离心率为( ) A. B. C. D. 8．已知,且,则下列各式正确的是( ) A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9．某校调查了100位70岁以内的教职工（含离退休）的年龄情况,分成了,,,,五组,并制作了如图所示的频率分布直方图,若同一组中的数据用该组区间的中间值代表,则下列结论正确的是( ) A. B.这100位教职工中年龄在的人数为55 C.这100位教职工年龄的众数估计值为45 D.这100位教职工年龄的中位数的估计值为42.5 10．已知直线与圆恒有两个不同的公共点,则下列叙述正确的有( ) A.直线l过定点 B.半径的取值范围是 C.当时,线段长的最小值为 D.当时,圆O上到直线l的距离为2的点恰好有三个,则 11．已知二面角的大小为,,,且,,则( ) A.是锐角三角形 B.异面直线AD与BC不可能垂直 C.线段AB长度的取值范围是 D.四面体体积的最大值为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．设等差数列的前n项和为,若,,则_____. 13．宜春某商场组织抽奖活动，在一个不透明的箱子中装有红、黄、白、黑4个形状、大小相同的小球，规定每人可以有放回地先后两次任意摸取小球（每次至少摸取1个小球），其中红黄白各计1分，黑计3分.若两次摸到的小球记录的得分的总分为7分，且凑齐四种颜色，则获得一等奖，那么获一等奖的概率为_____. 14．若内一点P满足,则称P为的布洛卡点,为布洛卡角.三角形的布洛卡点是法国数学家和数学教育家克雷尔于1816年首次发现,1875年被法国军官布洛卡重新发现,并用他的名字命名.若的三边长分别为,则的“布洛卡角”的正切值为_____. 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15．（13分）已知数列的前n项和为,且,. （1）求数列的通项公式; （2）设,求数列的前n项和. 16．（15分）记的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知外接圆半径为R,且. (1)求C. (2)若,,求的面积. 17．（15分）《齐鲁文化大会》是山东卫视推出的一档以“齐鲁文化”为主题,全民参与的大型文化综艺节目,深受人们的喜爱,其中有一个“杏坛论道”的答题环节,该环节规定：主持人每公布一题,甲、乙两人就立刻抢答,先抢答者,若答对,可得1分；若答错,则对手得1分；谁先得3分,谁就能在“杏坛论道”环节胜出.假设两人每一次抢到题的概率均为,答对每道题的概率分别为,,且两人答题正确与否互不影响. (1)求“杏坛论道”比赛开始后,甲先得1分的概率； (2)“杏坛论道”比赛进行中,甲、乙暂时各得1分,两人继续抢答了X题后“杏坛论道”环节结束,求X的分布列及数学期望； (3)“杏坛论道”比赛开始后,若乙先得2分,则乙获胜的概率比甲大吗 请说明理由. 18．（17分）如图,已知四棱锥中,底面为矩形, 平面,. (1)求证∶当时,平面平面 (2)当 时, ①求二面角的大小； ②求与平面成角的正弦值. 19．（17分）已知函数 （1）讨论函数的单调性 （2）若函数的极大值为. ①求实数a的值; ②令,实数.求证:有两个极小值点,且; 哈尔滨市四校2026届高三上学期期中联考 数学参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ... ...