8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积（课件+学案）（含答案）

8.3.1　棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 【课程标准要求】　通过求棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积,培养直观想象及数学运算的核心素养. 知识点一　棱柱、棱锥、棱台的表面积 几何体 多面体 图形 表面积 多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和,也就是展开图的面积 在棱锥与平行于底面的截面所截得的小棱锥中,有如下比例关系: ===对应线段(如高、棱长、底面边长等)的平方比. 知识点二　棱柱、棱锥、棱台的体积 几何体 体积 说明 棱柱 V棱柱=Sh S为棱柱的底面积, h为棱柱的高 棱锥 V棱锥=Sh S为棱锥的底面面积, h为棱锥的高 棱台 V棱台=h(S′+ +S) S′,S分别为棱台的 上、下底面面积, h为棱台的高 知识拓展 体积公式之间的关系 基础自测 1.若长方体的长、宽、高分别为3 cm,4 cm,5 cm,则长方体的体积为(　　) [A] 27 cm3 [B] 60 cm3 [C] 64 cm3 [D] 125 cm3 【答案】 B 【解析】 V长方体=3×4×5=60(cm3).故选B. 2.若正四棱台的上底面边长为2,下底面边长为8,高为4,则它的表面积为(　　) [A] 50 [B] 100 [C] 248 [D] 168 【答案】 D 【解析】 由题意可知,正四棱台的斜高为=5, 故侧面积等于4××5=100,所以表面积为S=100+22+82=168. 故选D. 3.正四棱锥底面正方形的边长为4,侧面是等边三角形,则该四棱锥的侧面积为(　　) [A] 16 [B] 48 [C] 64 [D] 【答案】 A 【解析】 如图,在正四棱锥P-ABCD中,连接AC,BD,交于点O,连接PO,取BC的中点E,连接PE,OE,易知PO为正四棱锥P-ABCD的高,PE为等边三角形PBC边BC上的高, 所以PE=2, 则S侧=4××4×2=16. 故选A. 4.(人教A版必修第二册P119习题8.3 T2改编)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E为线段B1C上的一点,则三棱锥A-DED1的体积为　　　　　　　. 【答案】 　 【解析】 ==××1×1×1=. 题型一　棱柱、棱锥、棱台的表面积 [例1] 现有一个底面是菱形的直四棱柱,它的体对角线长为9和15,高是5,求该直四棱柱的侧面积、表面积. 【解】 如图,设底面对角线长AC=a,BD=b,交点为O, 体对角线长A1C=15, B1D=9, 所以a2+52=152,b2+52=92, 所以a2=200,b2=56. 因为该直四棱柱的底面是菱形, 所以AB2=()2+()2===64, 所以AB=8. 所以直四棱柱的侧面积S侧=4×8×5=160. 所以直四棱柱的一个底面面积 S底=AC·BD=20. 所以直四棱柱的表面积 S表=160+2×20=160+40. 棱柱、棱锥、棱台的表面积求法 (1)多面体的表面积是各个面的面积之和. (2)棱柱、棱锥、棱台的表面积等于它们的侧面积与各自底面积的和. [变式训练] (1)已知正三棱锥的底面边长为4,高为2,则该三棱锥的表面积是(　　) [A] 4 [B] 6 [C] 8 [D] 12 (2)已知正四棱台上底面边长为2,下底面边长为4,高为3,则其表面积为(　　) [A] 36 [B] 12+20 [C] 12+20 [D] 48 【答案】 (1)D　(2)B 【解析】 (1) 如图,在正三棱锥O-ABC中,OM=2, 取BC的中点N,连接AN,ON,则点M在AN上, 且MN=AN. 又AB=4,BN=2, 所以AN==2. 所以MN=AN=, 则ON==. 所以S△OBC=BC·ON=, S△ABC=BC·AN=4. 故三棱锥的表面积为×3+4=12.故选D. (2)设正四棱台上、下底面的中心分别为O,O1,CD为侧面上的斜高, 过C作CE⊥O1D交边O1D于点E,所以O1O=3,OC=1,O1D=2, 所以CD==, 所以正四棱台的上、下底面的面积和为S1=22+42=20, 正四棱台的侧面积为S2=××4=12,则其表面积为S=S1+S2=20+12. 故选B. 题型二　棱柱、棱锥、棱台的体积 [例2] 已知正四棱台两底面边长分别为20 cm和10 cm,侧面面积为780 cm2,求其体积. 【解】 正四棱台的大致图形如图所示,其中A1B1=10 cm,AB=20 cm,取A1B1的中点E1,AB的中点E,连接E1E,则E1E为斜高. 设O1,O分别是上、下底面的中心,连接E1O1,EO,O1O,则四边形EOO1E1为直角梯形. 因为S侧=4××(10+20)×EE1=780(cm2), 所以EE1=13 cm. 在直角梯形EOO1E1中, O1E1=A1B1=5 cm,OE=AB=10 cm, 所以O1O ... ...