云南省玉溪第一中学2025-2026学年高三上学期摸底考试数学试题 一、单选题 1．若复数满足，则（ ） A． B． C． D． 2．函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 3．（1+2x2 ）（1+x）4的展开式中x3的系数为 A．12 B．16 C．20 D．24 4．已知非零向量满足，且，则与的夹角为（ ） A． B． C． D． 5．一个底面边长和侧棱长均为4的正三棱柱密闭容器，其中盛有一定体积的水，当底面水平放置时，水面高为.当侧面水平放置时（如图），容器内的水形成新的几何体.若该几何体的所有顶点均在同一个球面上，则该球的表面积为（ ） A． B． C． D． 6．设，，2是与的等比中项，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 7．圆和圆的交点为，则有（ ） A．公共弦所在直线方程为 B．公共弦的长为 C．线段中垂线方程为 D． 8．若，曲线与恰有一个交点，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知为锐角，，则（ ） A． B． C． D． 10．已知随机事件A，B发生的概率分别为，，下列说法正确的有（ ） A．若，则 B．若，则A，B相互独立 C．若A，B不相互独立，则 D．若，则 11．如图所示，已知正方体的棱长为4,分别是的中点，是线段上的动点，则下列说法正确的是（ ） A．平面截正方体所得的截面可能是五边形 B．一定是锐角三角形 C．当与点重合时，取为正方形内（含边界）一点满足平面平面，则的最小值 D．的最小值是 三、填空题 12．函数的图象在点处的切线的斜率为 ． 13．某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心，A是圆弧AB与直线AG的切点，B是圆弧AB与直线BC的切点，四边形DEFG为矩形，BC⊥DG，垂足为C，tan∠ODC=，，EF=12 cm，DE=2 cm，A到直线DE和EF的距离均为7 cm，圆孔半径为1 cm，则图中阴影部分的面积为 cm2． 14．高斯函数是以德国数学家卡尔-高斯命名的初等函数，其中表示不超过的最大整数，如.已知满足，设的前项和为的前项和为.则（1） ；（2）满足的最小正整数为 . 四、解答题 15．已知中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求； (2)若，求BC边上的中线长. 16．记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列． (1)求的通项公式； (2)证明：． 17．如图，在四面体中，，，，、分别为、的中点. (1)证明：； (2)若二面角为，求直线与平面所成角的正弦值. 18．已知椭圆，F为E的右焦点，P为E上的动点，当直线PF与x轴垂直时，，R是直线上一动点，的最小值为1． (1)求E的方程： (2)过R作E的两条切线分别交x轴于M，N两点，求面积的取值范围． 19．已知， (1)时，证明：； (2)若对任意的，恒成立，求的取值范围； (3)证明：对任意的正整数，总有． 参考答案 1．D 【详解】因为， 所以， 故选：D. 2．C 【详解】且，得且， 则函数的定义域为. 故选：C 3．A 【详解】由题意得x3的系数为，故选A． 4．B 【详解】由，得，则，， 而，则，所以与的夹角为. 故选：B 5．A 【详解】方法一： ， 如图，， 而， ，，即， 由于到距离，则到距离， 设正方形外接圆圆心，则 设矩形外接圆圆心，则，设外接球半径 ，，故外接球表面积为， 故选;A. 方法二：由当底面水平放置时，水面高为可知容器内的空气占容器体积的，于是侧放时，图中的空气区域的“小三棱柱”的体积为容器的，因此“小三棱柱”的底面“小三角形”的面积为大三角形的，则边长之比为，即“小三角形”边长为1.然后如图： 设圆的半径为，由余弦定理可得， 故，故， 所以外接球的半径为，所以球的表面积为. 故选：A. 6．B 【详解】∵2是与的等比中项，∴，∴． ∵，，当且仅当，时取等号， ∴． 故选：B． 7．D 【详解】解：对于A，联立两圆方程得，可得， 即公共弦所在直线方程为，故错误； 对于B，设到直线：的 ... ...
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