宁德市三校学年第一学期高三1月联考 数学试题 本试卷共4页，共150分，考试时长120分钟。 注意事项：答卷前，考生务必将班级、姓名、座号填写清楚。 班级：_____姓名：_____座号：_____ 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上。 1. 复数的虚部为（ ） A.1 B. C. D. 2. 已知非零向量，，则“与共线”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 充要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 若点不在圆的内部，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4.已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 5. 已知函数，则在下列区间上，单调递增的是（ ） A. B. C. D. 6. 函数的部分图象如图所示，则下列叙述正确的是（ ） A. 函数图象可由的图象向左平移个单位得到 B. 函数图象的对称中心为 C. 函数图象关于直线对称 D. 函数在区间上单调递增 7. 数列满足，则数列的前9项和为（ ） A. B. C. D. 8. 在平面直角坐标系中，若抛物线的焦点为，直线与抛物线交于，两点，，圆为的外接圆，直线与圆切于点，点在圆上，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9. 若正数，，均不为1，则下列不等式中与“”不等价的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知的三个角，，所对的三边分别为，，，，，设的中点为，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 不可能是等腰三角形 C. 面积的最大值为 D. 周长的最小值为4 11. 已知函数，则（ ） A. 当时，函数恰有1个零点 B. 当时，函数恰有2个极值点 C. 当时，函数恰有2个零点 D. 函数恰有2个零点时，必有一个零点为2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12. 对于任意不等于1的正数，函数的图像都经过一个定点，这个定点的坐标是_____。 13. 光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点；光线从双曲线的一个焦点发出，被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出，如图①，一个光学装置由有公共焦点、的椭圆与双曲线构成，现一光线从左焦点发出，依次经与反射，又回到了点，历时4秒；若将装置中的去掉，如图②，此光线从点发出，经两次反射后又回到了点，历时秒；已知与的离心率之比为，则。 14. 棱长为2的正方体中，设点为底面内（含边界）的动点，则点，到平面距离之和的最小值为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15（13分）. 在中，内角，，所对的边分别为，，。已知。 （I）求角的大小；（6分） （II）设，。求和的值。（7分） 16（15分）.已知正方体的棱长为2，是空间中的一点。 （1）证明：直线平面；（6分） （2）若点在平面内，且满足平面平面，请判断点的轨迹，并说明理由。（9分） 17（15分）. 已知等差数列的前项和为，，，数列满足，。 （1）求数列和的通项公式；（6分） （2）设，求数列的前项和。（9分） 18（17分）. 已知椭圆：的离心率，点在椭圆上。 （1）求椭圆的方程；（4分） （2）过的直线与椭圆相交于两点，，设的中点为， （i） 若直线的斜率为，求；（4分） （ii） 若点，判断与的大小，并证明你的结论。（9分） 19（17分）.若函数的图象上至少有两个不同点处的切线重合，则称该切线为函数的“自公切线”。设。 （1）判断函数是否存在“自公切线”，并说明理由；（3分） （2）若时，函数的最大值为，求的取值范围；（5分） （3）当时，证明：函数存在至少三个切点的“自公切线”， ... ...
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