5.3 导数在研究函数中的应用 复习学案 高中数学人教A版（2019）选择性必修第二册（pdf版）

第4节 利用导数确定原函数的图象 壹 利用导函数作图 1 1 利用导函数研究：原函数 y= x33 - x 2 2 - 2x+ 1 导函数 y = x2- x- 2 y y= 13 x3- 1 23 2 x -2x+1 2 y 1y =x2-x-2 1 4 3 2 1O 1 2 3 4 x 2 1O 1 2 x 1 1 2 2 3 例题分析 例设 f(x) = (2- x) (x+ 2)2 (1)求 f(x)的极值点； (2)求 f(x)的单调区间； (3)求 f(x)在 -5,1 的最大值与最小值； (4)画 f(x)的草图. 解 由题意，f (x) =-3x2- 4x+ 4，令 f (x) = 0，解得，x1=-2，x2= 23 ， 当 x变化是，f (x)，f(x)变化状态如下表： x (-∞ ,-2) -2 -2, 23 2 23 3 ,+∞ f (x) - 0 + 0 - f(x) ↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘ (1)为 x=-2为 f(x)的极小值点，x= 23 为 f(x)的极大值点； (2) f(x)的单调递增区间为 -2, 23 ，单调递减区间为 (-∞ ,-2)和 2 3 ,+∞ ； (3)由表可知，f(x)的极小值为 f(-2) = 0，f(x)的极大值为 f 23 = 256 27 ，又因为 f(-5) = 63，f(1) = 9 ,故 f(x)在 [-5 , 1]上的最大值为 63，最小值为 0； (4) f(x)的草图如下所示： y 256 27 -2 2 x 3 1 例题分析 例求 f(x) = lnxx 的极值，并画出函数的草图 解 函数 f(x) = lnxx 的定义域为 (0，+∞)，且 f′ (x) = 1-lnx 2 .令 f′ (x) = 0，解得 x= e.x 当 x变化时，f′ (x)与 f(x)的变化情况如下表： x (0，e) e (e，+∞) f′ (x) + 0 - f(x) 单调递增 1e 单调递减 因此，x= e是函数的极大值点，极大值为 f(e) = 1e ，没有极小值． 函数的草图如图所示． 变式1 若函数 f(x) = ex- ax2- 2ax有两个极值点，则实数 a的取值范围为 (　　) A. - 1 1 1 12 ，0 B. -∞，- 2 C. 0，2 D. 2 ，+∞ 答案　D 解：由 f(x) = ex- ax2- 2ax，得 f ′ (x) = ex- 2ax- 2a.因为函数 f(x) = ex- ax2- 2ax有两个极值点，所以 f ′ (x) = ex- 2ax- 2a有两个变号零 点，令 f ′ (x) = 0，得 1 x+12a = ex ， 设 g(x) = x+1x ，y= 1 2a ；则 g′ (x) =- x x x ，令 g′ (x) = 0，即- x = 0，解得 x= 0，e e e 当 x> 0时，g′ (x)< 0；当 x< 0时，g′ (x)> 0，所以 g(x)在 (-∞，0)上单调递增，在 (0，+∞)上单调递减． 分别作出函数 g(x) = x+1 与 y= 1 的图象，如图所示， ex 2a 由图可知，0< 1 12a < 1，解得 a> 2 ， 所以实数 a的取值范围为 12 ，+∞ . 贰 导函数与原函数的图象问题 例题1.已知函数 y= f(x)的图象如图所示，则函数 y= f′ (x)的图象可能是图中的 (　　) 2 答案　C 解：由函数 y= f(x)的图象的增减变化趋势判断函数 y= f′ (x)的正、负情况如下表： x (-1，b) (b，a) (a , 1) f(x) ↘ ↗ ↘ f′ (x) - + - 由表可知函数 y= f′ (x)的图象，当 x∈ (-1，b)时，在 x轴下方；当 x∈ (b，a)时，在 x轴上方；当 x∈ (a , 1)时，在 x轴下方．故选C. 变式1 设函数 f(x)在定义域内可导，y= f(x)的图象如图所示，则导函数 f′ (x)的图象可能是 (　) 答案　C 解：原函数的单调性是当 x< 0时，增；当 x> 0时，单调性变化依次为增、减、增． 故当 x< 0时，f ′ (x)> 0；当 x> 0时，f ′ (x)的符号变化依次为+、-、+.故选C. 例题2. (多选)函数 f x 的导函数 f x 的图象如图所示，则 ( ) A. - 1是函数 f x 的极值点 B. 3是函数 f x 的极大值点 C. f x 在区间 -1,4 上单调递减 D. 1是函数 f x 的极小值点 【答案】AC 【详解】对于A项，由图象可知，当 x<-1时，f x > 0，所以 f x 在 -∞,-1 上单调递增；当-1< x< 3时，f x < 0，所以 f x 在 -1,3 上单调递减.所以，f x 在 x=-1处取得极大值.故A正确； 对于B项，由图象可知，当 x>-1时，f x ≤ 0恒成立，且不恒为 0，所以 f x 在 -1,+∞ 上单调递 减.所以，3不是函数 f x 的极大值点.故B错误； 对于C项，由B可知，f x 在区间 -1,4 上单调递减.故C正确； 对于D项，由B可知，f x 在 -1,+∞ 上 ... ...