专题五 函数与导数 考点一 函数的单调性与最值 1.（2024·新高考Ⅰ卷6题）已知函数f（x）＝在R上单调递增，则a的取值范围是（ ） A.（－∞，0] B.[－1，0] C.[－1，1] D.[0，＋∞） 解析：B 因为f（x）在R上单调递增，且x≥0时，f（x）＝ex＋ln（x＋1）单调递增，则需满足解得－1≤a≤0，即a的取值范围是[－1，0].故选B. 2.（2023·新高考Ⅰ卷4题）设函数f（x）＝2x（x－a）在区间（0，1）上单调递减，则实数a的取值范围是（ ） A.（－∞，－2] B.[－2，0） C.（0，2] D.[2，＋∞） 解析：D 设t＝x（x－a），易知函数y＝2t是增函数.因为f（x）＝2x（x－a）在（0，1）上单调递减，所以由复合函数的单调性可知函数t＝x（x－a）在（0，1）上单调递减.因为函数t＝x（x－a）在（－∞，）上单调递减，所以≥1，即a≥2.故选D. 3.（2023·全国甲卷11题）已知函数f（x）＝，记a＝f（），b＝f（），c＝f（），则（ ） A.b＞c＞a B.b＞a＞c C.c＞b＞a D.c＞a＞b 解析：A 函数f（x）＝是由函数y＝eu和u＝－（x－1）2复合而成的复合函数，y＝eu为R上的增函数，u＝－（x－1）2在（－∞，1）上单调递增，在（1，＋∞）上单调递减，所以由复合函数的单调性可知，f（x）在（－∞，1）上单调递增，在（1，＋∞）上单调递减.易知f（x）的图象关于直线x＝1对称，所以c＝f（）＝f（2－），又＜2－＜＜1，所以f（）＜f（2－）＜f（），所以b＞c＞a，故选A. 4.（2023·新高考Ⅱ卷6题）已知函数f（x）＝aex－ln x在区间（1，2）上单调递增，则实数a的最小值为（ ） A.e2 B.e C.e－1 D.e－2 解析：C 法一 由题意，得f'（x）＝aex－，∴f'（x）＝aex－≥0在区间（1，2）上恒成立，即a≥在区间（1，2）上恒成立.设函数g（x）＝，x∈（1，2），则g'（x）＝－＜0，∴函数g（x）在区间（1，2）单调递减.∴ x∈（1，2），g（x）＜g（1）＝＝e－1.∴a≥e－1，∴a的最小值为e－1.故选C. 法二 ∵函数f（x）＝aex－ln x，∴f'（x）＝aex－.∵函数f（x）＝aex－ln x在区间（1，2）单调递增，∴f'（x）≥0在（1，2）恒成立，即aex－≥0在（1，2）恒成立，易知a＞0，则0＜≤xex在（1，2）恒成立.设g（x）＝xex，则g'（x）＝（x＋1）ex.当x∈（1，2）时，g'（x）＞0，g（x）单调递增，∴在（1，2）上，g（x）＞g（1）＝e，∴≤e，即a≥＝e－1，故选C. 考点二 函数的奇偶性、周期性与对称性 5.（2023·新高考Ⅱ卷4题）若f（x）＝（x＋a）ln为偶函数，则a＝（ ） A.－1 B.0 C. D.1 解析：B 法一 要使函数f（x）有意义，必须满足＞0，解得x＜－或x＞.因为函数f（x）是偶函数，所以对任意x∈（－∞，－）∪（，＋∞），都有f（－x）＝f（x），即（－x＋a）·ln＝（x＋a）ln，则（x－a）ln＝（x＋a）ln对任意x∈（－∞，－）∪（，＋∞）恒成立，所以a＝0.故选B. 法二 因为f（x）＝（x＋a）ln为偶函数，f（－1）＝（a－1）ln 3，f（1）＝（a＋1）ln ＝－（a＋1）ln 3，所以（a－1）ln 3＝－（a＋1）ln 3，解得a＝0，故选B. 6.（2020·新高考Ⅰ卷8题）若定义在R的奇函数f（x）在（－∞，0）单调递减，且f（2）＝0，则满足xf（x－1）≥0的x的取值范围是（ ） A.[－1，1]∪[3，＋∞） B.[－3，－1]∪[0，1] C.[－1，0]∪[1，＋∞） D.[－1，0]∪[1，3] 解析：D 法一 由题意知f（x）在（－∞，0），（0，＋∞）单调递减，且f（－2）＝f（2）＝f（0）＝0.当x＞0时，令f（x－1）≥0，得0≤x－1≤2，∴1≤x≤3；当x＜0时，令f（x－1）≤0，得－2≤x－1≤0，∴－1≤x≤1，又x＜0，∴－1≤x＜0；当x＝0时，显然符合题意.综上，原不等式的解集为[－1，0]∪[1，3]，故选D. 法二 当x＝3时，f（3－1）＝0，符合题意，排除B；当x＝4时，f（4 ... ...
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