《创新课堂》5.3.2第三课时　利用导数解决与函数有关的问题 课件 高中数学选修2同步讲练测

(课件网) 第三课时　利用导数解决与函数有关的问题 1.会利用导数画函数的大致图象（数学抽象、数学运算）. 2.结合函数图象利用导数研究函数的零点的问题（逻辑推理、数学运算）. 3.利用导数解决生活中的实际问题（数学建模、数学运算）. 课标要求 知识点一　利用导数画函数的大致图象 01 知识点二　利用导数研究函数的零点与方程的根 02 知识点三　生活中的优化问题 03 课时作业 04 目录 知识点一 利用导数画函数的大致图象 01 PART 【例1】　已知f（x）＝（a－x＋1）ex，其中a＞0，试画出函数f（x） 的大致图象. 解：∵f（x）＝（a－x＋1）ex， ∴f'（x）＝（a－x）ex， 则当x＜a时，f'（x）＞0，f（x）在（－∞，a）上单调 递增； 当x＞a时，f'（x）＜0，f（x）在（a，＋∞）上单调递减， ∴f（x）在x＝a处取得最大值f（a）＝ea，且当x→＋ ∞时，f（x）→－∞，当x→－∞时，f（x）→0， 则f（x）＝（a－x＋1）ex的大致图象如图所示. 【规律方法】 利用导数画函数大致图象的步骤 （1）确定函数的定义域； （2）利用导数确定函数的单调性与极值； （3）确定f（x）的图象经过一些特殊点，以及图象的变化趋势； （4）画出f（x）的大致图象. 训练1　试画出函数f（x）＝ 的大致图象. 解：∵f（x）＝ ， ∴f'（x）＝ （x＞0）， 令g（x）＝1＋ －ln x， 则g'（x）＝－ － ＝－ ＜0， ∴g（x）在（0，＋∞）上是减函数， 又g（e）＝ ＞0，g（e2）＝1＋ －ln e2＝ －1＜0， ∴存在x0∈（e，e2），使得g（x0）＝0， ∴当x∈（0，x0）时，g（x）＞0，f'（x）＞0，f（x） 单调递增， 当x∈（x0，＋∞）时，g（x）＜0，f'（x）＜0，f（x） 单调递减， 且当x→0时，f（x）→－∞，当x→＋∞时，f（x）→0， 故f（x）的大致图象如图所示. 知识点二 利用导数研究函数的零点与方程的根 02 PART 【例2】　判断函数f（x）＝ex（x2－2x＋1）－x的零点个数. 解：由f（x）＝0，得x2－2x＋1＝ . 令g（x）＝ ，则函数f（x）＝ex（x2－2x＋1） －x的零点等价于函数y＝x2－2x＋1与y＝g（x） 图象的交点， g'（x）＝ ，令g'（x）＞0，得x＜1，令g'（x）＜0，得x＞1， 所以g（x）在（－∞，1）上单调递增，在（1，＋∞）上单调递减， 所以g（x）max＝g（1）＝ ， 又g（0）＝0，作出函数y＝x2－2x＋1＝（x－1）2与y＝g（x）的图象，如图所示，数形结合可得函数f（x）有2个零点. 【规律方法】 利用导数确定函数零点或方程根的个数的方法 （1）数形结合：将函数的零点或方程的根转化为两函数图象的交点，利 用导数画出函数的大致图象，进而得到函数零点的个数； （2）利用函数零点存在定理：先用该定理判断函数在某区间上有零点， 然后利用导数研究函数的单调性、极值和区间端点处的函数值的符号，进 而判断函数在该区间上的零点个数. 训练2　已知f（x）＝ln x. （1）求 的极值； 解：令g（x）＝ ＝ ，且x∈（0，＋∞），则g'（x）＝ ， 当0＜x＜e时g'（x）＞0，当x＞e时g'（x）＜0， 所以g（x）在（0，e）上单调递增，在（e，＋∞）上单调递减， 故g（x）＝ 的极大值为g（e）＝ ，无极小值. （2）若函数y＝f（x）－ax存在两个零点，求a的取值范围. 解：由题设，a＝ 有两个根，即y＝a与g（x）＝ 有两个交点， 由（1）知：g（x）在（0，e）上单调递增，在（e，＋∞）上单调递减， 在（0，1）上g（x）＜0，在（1，＋∞）上g（x）＞0，且当x趋向正无 穷时g（x）趋向于0， 综上，只需0＜a＜g（e）＝ ，即a∈ . 故a的取值范围为（0， ）. 知识点三 生活中的优化问题 03 PART 【例3】　某企业在2025年全年内计划生产某种产品的数量为x百件，生产 过程中总成本w（x）（万元）是关于x（百件）的一次函数 ... ...