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课件网) 第一课时 函数的极值 1.借助函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和 充分条件（数学抽象、直观想象）. 2.能利用导数求某些函数的极大值、极小值（数学运算）. 课标要求 ———横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，说的是庐山的高低起伏，错落有致.在群山之中，各个山峰的顶端虽然不一定是群山的最高处，但它却是其附近的最高点，同样，各个谷底虽然不一定是群山之中的最低处，它却是其附近的最低点.在数学上，这种现象如何来刻画呢？ 情境导入 知识点一 函数极值的概念 01 知识点二 利用导数求函数的极值 02 课时作业 03 目录 知识点一 函数极值的概念 01 PART 问题1 如图，函数y＝f（x）在x＝a，b，c，d，e等点处的函数值与 这些点附近的函数值有什么关系？ y＝f（x）在这些点处的导数值是 多少？在这些点附近，y＝f（x） 的导数的正负性有什么规律？ 提示：以x＝a，b两点为例，可以发现，函数y＝f（x）在点x＝a处的函 数值f（a）比它在点x＝a附近其他点处的函数值都小，f'（a）＝0；而 且在点x＝a附近的左侧f'（x）＜0，右侧f'（x）＞0.类似地，函数y＝f （x）在点x＝b处的函数值f（b）比它在点x＝b附近其他点处的函数值 都大，f'（b）＝0；而且在点x＝b附近的左侧f'（x）＞0，右侧f'（x）＜0. 【知识梳理】 极小值 极大值 图 象 极小值 极大值 定 义 函数y＝f（x）在点x＝a处的函 数值f（a）比它在点x＝a附近其 他点处的函数值都 ，f'（a） ＝0；而且在点x＝a附近的左 侧 ，右侧 ，把 叫做函数y＝f （x）的极小值点， 叫 做函数y＝f（x）的极小值 函数y＝f（x）在点x＝b处的 函数值f（b）比它在点x＝b附 近其他点处的函数值都 ， f'（b）＝0；而且在点x＝b附近 的左侧 ，右侧f' （x） 0，把 叫做函 数y＝f（x）的极大值点， 叫做函数y＝f（x）的 极大值 极小值点、极大值点统称为 ，极小值和极大值统称为 小 f'（x）＜0 f'（x） ＞0 a f（a） 大 f'（x）＞0 ＜ b f （b） 极值点 极 值 提醒：（1）极值点不是点；（2）极值是函数的局部性质；（3）函 数的极值不唯一；（4）极大值与极小值两者的大小不确定；（5）极值点 出现在区间的内部，端点不能是极值点. 【例1】 （1）判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） ①函数的极大值一定大于极小值.（ × ） ②函数y＝f（x）一定有极大值和极小值.（ × ） ③函数的极值点是自变量的值，极值是函数值.（ √ ） ④若f（x）≥f（x0），则称f（x0）为f（x）的极小值，若f（x）≤f （x0），则称f（x0）为f（x）的极大值.（ × ） ⑤若f（x）在区间（a，b）内有极值，则f（x）在（a，b）内一定不 是单调函数.（ √ ） × × √ × √ （2）〔多选〕函数y＝f（x）的导函数的图象如图所示，则下列说法正 确的是（ BD ） A. 函数y＝f（x）在区间 内单调递减 B. 函数y＝f（x）在区间（－2，2）内单调递增 C. 当x＝－ 时，函数y＝f（x）有极大值 D. 当x＝2时，函数y＝f（x）有极大值 BD 解析：对于A，当x∈ 时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，当x∈ （2，3）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，所以A错误；对于B，当x∈ （－2，2）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，所以B正确；对于C，由B 知当x＝－ 时，f 不是极大值，所以C错误；对于D，由A知当x＝2 时，函数y＝f（x）取得极大值，所以D正确. 【规律方法】 解答此类问题要先搞清楚所给的图象是原函数还是导函数的，对于导函数 的图象，重点关注在哪个区间上为正，哪个区间上为负，在哪个点处与x 轴相交，在该点附近的导数值是如何变化的，若是由正值变为负值，则在 该点处取得极大值；若是由负值变为正 ... ...
