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课件网) §4 平面向量基本定理及坐标表示 4．1 平面向量基本定理 新知学习 探究 PART 01 第一部分 向量共线定理的实质是，所有共线的向量中，只要指定一个非零向量，则其他向量都可以用这个向量表示出来． 思考 向量共线定理是否可以推广到所有共面的向量呢？ 提示：可以．所有共面的向量中，只要指定两个不共线向量，则其他向量都可以用这两个向量表示出来． 不共线 λ1e1＋λ2e2 不共线 正交基 正交基 互相垂直 【即时练】 1．(多选)如果e1，e2是平面内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是( ) A．λe1＋μe2(λ，μ∈R)可以表示平面内的所有向量 B．对于平面内任一向量a，使a＝λe1＋μe2的实数对(λ，μ)有无穷多个 C．若向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则有且只有一个实数λ，使得λ1e1＋μ1e2＝λ(λ2e1＋μ2e2) D．若存在实数λ，μ使得λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0 √ √ 解析：由平面向量基本定理可知，A，D是正确的． 对于B，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基确定，那么任意一个向量在此基下的实数对是唯一的． 对于C，当两向量的系数均为零，即λ1＝λ2＝μ1＝μ2＝0时，这样的λ有无数个． 2．(多选)已知{e1，e2}是表示平面内所有向量的一组基，则下列四个选项中，能作为一组基的是( ) A．e1＋e2，e1－e2 B．3e1－2e2，4e2－6e1 C．e1＋2e2，e2＋2e1 D．e2，e1＋e2 √ √ √ 解析：e1，e2不共线，根据向量的加法和减法运算法则，可得e1＋e2，e1－e2不共线，e2，e1＋e2不共线，e1＋e2，e1－e2和e2，e1＋e2均可作为一组基，选项A，D正确； 对于B，4e2－6e1＝－2(3e1－2e2)，3e1－2e2，4e2－6e1共线，所以3e1－2e2，4e2－6e1不能作为一组基，选项B错误； √ √ 4．已知e1，e2不共线，a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，要使{a，b}能作为平面内的一组基，则实数λ的取值范围为_____． 解析：若{a，b}能作为平面内的一组基，则a与b不共线，则a≠kb(k∈R)，因为a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，所以λ≠4.所以实数λ的取值范围为(－∞，4)∪(4，＋∞)． (－∞，4)∪(4，＋∞) 对基的理解 (1)两个向量能否作为一组基，关键是看这两个向量是否共线．若共线，则不能作基，反之，则可作基； (2)一个平面的基一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这组基唯一线性表示出来．设向量a与b是平面内两个不共线的向量，若x1a＋y1b＝x2a＋y2b，则x1＝x2且y1＝y2. 用基表示向量的方法 (1)平面内任何一个向量都可以用一组基进行表示，转化时一定要看清转化的目标，要充分利用向量加法、减法的平行四边形法则和三角形法则，同时结合实数的定义，牢记转化方向，把未知向量逐步往基的方向进行组合或分解． (2)具体表示方法有两种： ①利用向量的线性运算及法则对所求向量不断转化，直至能用基表示为止； ②基的选取要灵活，必要时可以建立方程或方程组，通过方程或方程组求出要表示的向量． √ 【变式探究】 (条件变式)若本例中的点N为AC的中点，其他条件不变，求AP∶PM与BP∶PN. 若直接利用基表示向量比较困难，可设出目标向量并建立其与基之间满足的二元关系式，然后利用已知条件及相关结论，从不同方向和角度表示出目标向量(一般需建立两个不同的向量表达式)，再根据待定系数法确定系数，建立方程或方程组，解方程或方程组即可． 课堂巩固 自测 PART 02 第二部分 1．下列关于基的说法正确的是( ) ①平面内不共线的任意两个向量都可作为一组基； ②基中的向量可以是零向量； ③平面内的基一旦确定，该平面内的向量关于基的线性分解形式也是唯一确定的． A．① B．② C．①③ D．②③ 解析：零向量与任意向量共线，故零向量不能作为基中的向量，故② ... ...
