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课件网) 2.3.2 两点间的距离公式 1. 探索并掌握平面上两点间的距离公式（逻辑推理）. 2. 会用坐标法证明简单的平面几何问题（数学运算、直观想象）. 课标要求 在一条笔直的公路同侧有两个大型小区，现计划在公路上某处建一个公交站点C，以方便居住在两个小区的住户出行.如何选址能使站点到两个小区的距离之和最小？ 情境导入 知识点一 两点间的距离公式 01 知识点二 两点间距离公式的应用 02 知识点三 坐标法的应用 03 课时作业 04 目录 01 PART 知识点一 两点间的距离公式 问题 （1）在数轴上已知两点A，B，如何求A，B两点间的距离？ 提示：｜AB｜＝｜xA－xB｜. （2）如何用向量法求平面内两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）之间的距 离？ 提示：因为 ＝（x2－x1，y2－y1），所以｜ ｜＝ . （3）你能利用P1（x1，y1），P2（x2，y2）构造直角三角形，再用勾股定 理求P1，P2两点间的距离吗？ 提示：如图，在Rt△P1QP2中，｜P1P2｜2＝｜P1Q｜2＋｜QP2｜2，所以｜P1P2｜＝ . 【知识梳理】 条件 点P1（x1，y1），P2（x2，y2） 结论 ｜P1P2｜＝ 特例 点P（x，y）到原点O（0，0）的距离｜OP｜＝ 提醒：当A，B两点的连线平行x轴时，｜AB｜＝｜x1－x2｜；当两 点的连线平行y轴时，｜AB｜＝｜y1－y2｜. 【例1】（1）已知A（－1，0），B（5，6），C（3，4）三点，则 ＝（ A ） A. 2 B. 3 C. D. 解析：｜AC｜＝ ＝4 ，｜CB｜＝ ＝2 ，所以 ＝2. A （2）已知三角形的三个顶点A（2，4），B（3，－6），C（5，2），则 BC边上中线的长为 . 解析：设BC的中点为D（x，y），由中点坐标公式得 所以D（4，－2），所以｜AD｜＝ ＝ ＝ 2 . 2 【规律方法】 求两点间距离的方法 首先根据题目条件确定点的坐标，再代入到两点间的距离公式求值，代入 时注意点的坐标的对应位置要准确. 训练1 （1）（2025·烟台月考）直线y＝x上的两点P，Q的横坐标分别 是1，5，则｜PQ｜＝（ B ） A. 4 B. 4 C. 2 D. 2 解析：由题意得P（1，1），Q（5，5），∴｜PQ｜＝ ＝4 . B 解析：由题知， ＝tan 45°＝1，解得m＝1，故A（1，2），B （－1，0），则A，B两点间的距离为 ＝ 2 .故选C. （2）已知过A（m，2），B（－m，m－1）两点的直线的倾斜角是 45°，则｜AB｜＝（ C ） A. 2 B. C. 2 D. 3 C 02 PART 知识点二 两点间距离公式的应用 【例2】（1）在已知直线2x－y＝0上存在一点P，使它到点M（5，8）的 距离为5，则直线PM的方程为 ； 解析：∵点P在直线2x－y＝0上，∴可设P点坐标为（a，2a）， ∴ ＝5，即5a2－42a＋64＝0，解得a＝2或a ＝ ，∴点P的坐标为（2，4）或（ ， ）.∴直线PM的方程为 ＝ 或 ＝ ，即4x－3y＋4＝0或24x－7y－64＝0. 4x－3y＋4＝0或24x－7y－64＝0 （2）已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（1，－1），B（－1，3），C （3，0），试判断△ABC的形状. 解：因为｜AB｜＝ ＝2 ， ｜AC｜＝ ＝ ， ｜BC｜＝ ＝5. 所以｜AB｜2＋｜AC｜2＝｜BC｜2，即△ABC是以A为直角顶点的直角三 角形. 变式 若本例（2）条件不变，试求△ABC的面积. 解：由例2（2）得｜AB｜＝2 ，｜AC｜＝ . 又因为A＝90°，所以S△ABC＝ ｜AB｜｜AC｜＝ ×2 × ＝5. 【规律方法】 关于两点间距离公式的应用 （1）已知距离求参数，一般通过两点间的距离公式建立方程求解，但是 求出的值需要检验； （2）判断三角形的形状，先根据两点间的距离公式分别求出三边的长， 再结合三角形的性质判断. 训练2 已知点A（－3，4），B（2， ），在x轴上找一点P，使｜ PA｜＝｜PB｜，并求｜PA｜的值. 解：设点P的坐标为（x，0），则有 ｜PA｜＝ ＝ ， ｜PB｜＝ ＝ . 由｜PA｜＝｜PB｜，得x2＋6x＋25＝x2－4x＋7，解得x＝－ . ... ...
