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课件网) 培优课 圆锥曲线的离心率问题 1.掌握圆锥曲线的离心率的求法（逻辑推理、数学运算）. 2.会求圆锥曲线的离心率的最值及范围问题（数学运算）. 重点解读 定义法 一 几何法 二 齐次式法 三 离心率的范围问题 四 目录 课时作业 05 一 PART 定义法 【例1】（1）（2025·南京质检）直线y＝－ x与椭圆C： ＋ ＝1 （a＞b＞0）交于A，B两点，以线段AB为直径的圆恰好经过椭圆的右焦 点，则椭圆C的离心率为（ C ） C 解析：设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，由题意可得｜OF2｜＝｜ OA｜＝｜OB｜＝｜OF1｜＝c，由y＝－ x，不妨设A在第二象限，得 ∠AOF2＝ ，∠AOF1＝ .∴｜AF2｜＝ c，｜AF1｜＝c.由椭圆定义 可知，｜AF1｜＋｜AF2｜＝2a，∴c＋ c＝2a，∴e＝ ＝ －1. （2）已知双曲线C： － ＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是 F1，F2，P是双曲线C上的一点，且｜PF1｜＝5，｜PF2｜＝3，∠F1PF2 ＝120°，则双曲线C的离心率是 . 解析：设双曲线C的半焦距为c（c＞0）.由题意知点P在右支上，由余弦 定理得 cos ∠F1PF2＝ ＝－ ，解得｜F1F2｜＝7，所以c＝ ，又｜PF1｜－｜PF2｜＝2，所以a＝1，则双曲线C的离心率e＝ ＝ . 【规律方法】 根据椭圆或双曲线的定义，求出a，c或列出关于a，c的等式，得到关 于e的方程，进而求出e. 训练1 已知F为双曲线C： － ＝1（a＞0，b＞0）的右焦点，l为双 曲线的一条渐近线，F到直线l的距离为 ，过F且垂直于x轴的直线交 双曲线C于A，B两点，若｜AB｜＝10，则C的离心率为（ ） A. 2 C. 4 D. 6 解析： 由题意知，b＝ .由 ＝10，得a＝1，所以c＝ ＝ ，所以e＝ ＝ . √ 二 PART 几何法 【例2】（2025·无锡月考）已知双曲线C： － ＝1（a＞0，b＞0）的 左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线分别交双曲线的左、右两支于P， Q两点，若△PQF2为正三角形，则双曲线C的离心率为 . 解析：如图所示，因为△PQF2是正三角形，所以｜PQ｜ ＝｜QF2｜＝｜PF2｜，∠F1PF2＝120°，由双曲线定义可 知｜QF1｜－｜QF2｜＝2a，即｜QF1｜－｜PQ｜＝｜ PF1｜＝2a，再由｜PF2｜－｜PF1｜＝2a可得｜PF2｜＝ 4a，在△PF1F2中， cos ∠F1PF2＝ ，即 ＝－ ，得28a2＝4c2， ＝7，所以e＝ . 【规律方法】 在椭圆或双曲线中，涉及到焦点三角形的题目往往利用圆锥曲线的定义 及三角形中的正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等来求得e的值. 训练2 过椭圆 ＋ ＝1（a＞b＞0）的左、右焦点F1，F2作倾斜角分 别为30°和60°的两条直线l1，l2.若两条直线的交点P恰好在椭圆上，则 椭圆的离心率为（ ） √ 解析： 由题意知，在△PF1F2中，∠F1PF2＝30°，由正弦定理可得 ＝ ＝ ＝ ，所以 ＝ ，所以该椭圆的离心率e＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ . 三 PART 齐次式法 【例3】（1）已知椭圆 ＋ ＝1（a＞0，b＞0）左顶点为A，右焦点为 F，B为椭圆上一点， · ＝0， cos ∠BAF＝ ，则椭圆的离心率为 （ B ） B 解析：依题意｜BF｜＝ ，｜AF｜＝a＋c，AF⊥BF，因为 cos ∠BAF＝ ，所以tan∠BAF＝ ，所以 ＝ ，因为a2＝b2＋ c2，所以 ＝ ，所以7a2－12c2－5ac＝0，即12e2＋5e－7＝0， 又e∈（0，1），解得e＝ .故选B. （2）设F1，F2为双曲线C： － ＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点， 过左焦点F1的直线l与C在第一象限相交于一点P，若｜F1P｜＝｜ F1F2｜，且直线l倾斜角的余弦值为 ，则C的离心率为 . 2 解析：设直线l的倾斜角为α，则 cos α＝ ，由P在第一象限内，且｜ F1P｜＝｜F1F2｜，则｜F1P｜＝｜F1F2｜＝2c，所以｜F2P｜＝2c－ 2a，由余弦定理可得 cos ∠PF1F2＝ cos α＝ ＝ ，整理 得3c2－8ac＋4a2＝0，则3e2－8e＋4＝0，解得e＝2或e＝ （舍去）. 【规律方法】 借助题设条 ... ...
