2025-2026学年上海市建平中学高一（上）期末数学试卷（含答案）

2025-2026学年上海市建平中学高一（上）期末数学试卷 一、选择题：本大题共有4题，满分18分，第1、2题每题4分，第3、4题每题5分。 1.“”是“”成立的( ) A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 2.下列命题中的假命题是( ) A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若，且，则 3.设函数，若，是同一象限的角，且不存在，，使得，则，所在的象限为第象限． A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 4.已知，给出以下两个命题，则( ) 对任意，，都有；存在，，使得． A. 均为真命题 B. 均为假命题 C. 是真命题，是假命题 D. 是假命题，是真命题 二、填空题：本题共12题，第5-10题每题4分,第11-16题，每题5分，共54分。 5.若幂函数过点，则 ． 6.已知，则可用表示为 ． 7.若，则实数 ． 8.已知扇形的弧所对的圆心角为，半径为，则扇形的面积为 ． 9.不等式的解集为 ． 10.已知函数是定义在上的奇函数，且时，，则 ． 11.设，则其反函数必过定点的坐标为 ． 12.方程的解集为 ． 13.设，是关于的方程的解，则 ． 14.某房间的室温单位：摄氏度与时间单位：小时的函数关系是：，，其中，是正实数如果该房间的最大温差为摄氏度，则的最大值为 结果保留两位小数 15.已知函数设，且函数的图象经过四个象限，则实数的取值范围是 ． 16.设函数的定义域为若对任意，的值为数字在，，，中出现的次数，则 ． 三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 如图所示，，是单位圆上的动点，且点在第一象限是圆与轴正半轴的交点，为正三角形记劣弧所对的圆心角． 若点的坐标为，求点的坐标； 若，求． 18.本小题分 设集合为函数的定义域，集合为函数的值域，集合为不等式的解集． 求； 若，求的取值范围． 19.本小题分 已知函数． 求证：时，是上的严格减函数； 若对任意，存在，使得，求实数的取值范围． 20.本小题分 人脸识别技术在各行各业的应用改变着人类的生活，所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图像，并从中提取出有效的识别信息，最终判别对象的身份，在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要应用距离的测试，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离若二维空间有两个点，，则曼哈顿距离为：，余弦相似度为：，余弦距离为． 若，，求，之间的曼哈顿距离和余弦距离； 已知，，，若，，求的值； 已知，、，，若，，求、之间的曼哈顿距离． 21.本小题分 设函数的定义域为，定义集合，． 设，，求； 若，，，且对任意，都有，求的最小值； 设，证明：“函数是偶函数”的充分必要条件是“对任意实数，都有” 参考答案 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18.解：， 解得 对于函数， 当时，，当且仅当时等号成立； 当时，，当且仅当时等号成立； ； 则； ，， 若，则不等式的解集只能是，故定有，得，解得 若，则不等式的解集，但，故 的范围为． 19.（1）证明：当时，， 设，，且，则，， 所以， 即， 所以是上的严格减函数 20.解：， ，则余弦距离等于； ； ， 则得，得，则． ，， ． ，． ， ． ，则， ． ， ，． ， ， ． ， 、之间的曼哈顿距离是． 21. 证明：必要性证明： 若，是偶函数， 则任意，． 则， 故必要性得证；充分性证明： 若对任意实数，都有，下面用反证法证明是偶函数． 假设不是偶函数，则，使得， 取， 若，则， 由且， 得，且， 所以，这与矛盾；若，则， 则由且， 得，且， 而与同时成立是矛盾的；故由可知，假设错误，即是偶函数， 故充分性得证． 综上所述，“函数，是偶函数”的充分必要条件是“对任意实数，都有” 第1页，共1页 ... ...